Question

已知:在平面直角坐标系中,三点A(3,1)B(4,1)C(6,0)点P位X轴上一动点

Answer 1

解:
(1)点A(3,1)关于x轴对称的点A'(3,-1)。连接A'P,则有AP=A'P。于是AP+BP=A'P+BP≥A'B,也即当且仅当P点为A'B和x轴的交点时,和最小。显然P点坐标为(3.5,0)。
(2)<OAP+<PBC=π-<AOC-<APO+π-<BPC-<BCO

=2π-<AOC-<BCO-(<APO+<BPC)

=2π-<AOC-<BCO-(π-<APB)

=7π/6-(arctan1/3+arctan1/2)

=7π/6-π/4

=11π/12
也即答案为165°。
其中用到了arctan1/3+arctan1/2=π/4。这是因为
0<arctan1/3<π/4,0<arctan1/2<π/4,故0<arctan1/3+arctan1/2<π/2。
而tan(arctan1/3+arctan1/2)=(1/3+1/2)/(1-1/3*1/2)=1,故arctan1/3+arctan1/2=π/4。