Question

已知函数f(x)=x^2+ax-lnx,a属于R

Answer 1

（1）f'(x)=2x+a-1/x
在【1,2】上有f'(x)<=0
即a<=min(1/x-2x)
其中x取遍【1,2】
令φ（x）=1/x-2x
φ'(x)=-1/x^2-2<0
知φ（x）在【1,2】上单调下降
所以a<=φ（2）=1/2-4=-7/2
(2)
g(x)=ax-lnx
g'(x)=a-1/x=a（x-1/a）/x
若a<=0,则
g’(x)<=0
g(x)在（0,e】上的最小值
为g（e）=ae-1=3
a=2/e>0
不符合a<=0的佳色
若a>0
在x<1/a
区间
g'<0
g单降
在x>1/a
区间
g'>
0
g增加
若0
=e
g(x)在（0,e】上的单降,最小值为g（e）=ae-1=3
得a=2/e
与
0
1/e,那么
1/a
1/e
存在这样的a=e^2
(3)有（2）题结论，x∈（0，e）时
(e^2)x-lnx的最小值为3，剩下仅需证明lnx/x<1/2
即可
令h（x）=2lnx-x
h’（x）=2/x-1
0
0
2
5/2+lnx/x
(e^2)x-5/2
>lnx+lnx/x
希望对你能有所帮助。

Answer 2

（1）f'(x)=2x+a-1/x
在【1,2】上有f'(x)<=0
即a<=min(1/x-2x)
其中x取遍【1,2】
令φ（x）=1/x-2x
φ'(x)=-1/x^2-2<0
知φ（x）在【1,2】上单调下降
所以a<=φ（2）=1/2-4=-7/2
(2)
g(x)=ax-lnx
g'(x)=a-1/x=a（x-1/a）/x
若a<=0,则
g’(x)<=0
g(x)在（0,e】上的最小值
为g（e）=ae-1=3
a=2/e>0
不符合a<=0的佳色
若a>0
在x<1/a
区间
g'<0
g单降
在x>1/a
区间
g'>
0
g增加
若0
=e
g(x)在（0,e】上的单降,最小值为g（e）=ae-1=3
得a=2/e
与
0
1/e,那么
1/a
1/e
存在这样的a=e^2
(3)有（2）题结论，x∈（0，e）时
(e^2)x-lnx的最小值为3，剩下仅需证明lnx/x<1/2
即可
令h（x）=2lnx-x
h’（x）=2/x-1
0
0
2
5/2+lnx/x
(e^2)x-5/2
>lnx+lnx/x

Answer 3

(1)f'(x)=2x+a-1/x
【1,2】f'(x)<=0
即a<=min(1/x-2x)
其x取遍【1,2】
令φ(x)=1/x-2x
φ'(x)=-1/x^2-2<0
知φ(x)【1,2】单调降
所a<=φ(2)=1/2-4=-7/2
(2)
g(x)=ax-lnx
g'(x)=a-1/x=a(x-1/a)/x
若a<=0,则
g’(x)<=0
g(x)(0,e】值
g(e)=ae-1=3
a=2/e>0
符合a<=0佳色
若a>0
x<1/a
区间
g'<0
g单降
x>1/a
区间
g'>
0
g增加
若0<a<=1/e
1/a>=e
g(x)(0,e】单降,值g(e)=ae-1=3
a=2/e
与
0<a<1/e矛盾
若a>1/e,
1/a<e
g(x)(0,e】值g(1/a)=1+lna=3
a=e^2>1/e
存a=e^2
(3)(2)题结论x∈(0e)
(e^2)x-lnx值3剩仅需证明lnx/x<1/2
即
令h(x)=2lnx-x
h’(x)=2/x-1
0<x<2
h'>0
2<x<e
h‘<0
所h区间(0e】值h(2)=2ln2-2=2ln(2/e)<0
所区间(0e】
2lnx-x<0
lnx/x<1/2
(e^2)x-lnx≥3=5/2+1/2>5/2+lnx/x
(e^2)x-5/2
>lnx+lnx/x