Question

已知a+b+c=0,a³+b²+c²=0，求证:a的2013次方+b的2013次方+C的2013次方

已知a+b+c=0,a³+b²+c²=0，求证:a的2013次方+b的2013次方+C的2013次方=0

Answer 1

有这么一个结论: 若a+b+c=0, a^3+b^3+c^3=0, 则3abc=0, 且a^n+b^n+c^n=0(n为任意正奇数).
当看见a+b+c=0时, 我们可以想能否使的a, b, c变成可以讨论的数值, 那么最美好的情况, 也是题目没有不允许的, 是a=0, 从讨三维变成讨论二维, 而这时二维的b, c关系也更简单, b+c=0, 因此可得b和c互为相反数, 即然相反数的和为0, 那么相反数的奇次方的和也是0. 所以本题答案是0. 怎样转化为适当的数学表达式呢?

我们可以使用欧拉公式, a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(……), 代入数据, 0-3abc=0, 3abc=0, 因此a或b或c=0, 令a=0, 则c=-b, 代入a^n+b^n+c^n=0+b^n+(-b)^n, n奇, (-b)^n=-b^n, 所以a^n+b^n+c^n=0. 本题n=2013, 一般是出题的年份数字, 但结果与n值无关, 下次可以改任何数字. 而且解答过程中, 验证了我们一开始的美好想法, 不是希望a=0, 而是a, b, c中确实有一个为0, 另外两个为相反数.
不实用欧拉公式, 也可以a+b+c=0, a^3+b^3+c^3=0这两个条件, 用c=-a-b的消元法, 消c, 得出3abc=0这个关键步骤.

Answer 2

a+b+c=0
a^2+b^2+c^2=0
可得到
a+b=-c;
a^2+b^2+2ab=c^2
a^2+b^2=-C^2
ab=c^2
设方程
解为a,b,则方程就是
X^2-(a+b)X+ab=0
即
X^2+CX+C^2=0
即a,b=(-1/2±√3/2i)*c=c*e^(±2π/3)i
代入所给式子得到
a^2013+b^2013+c^2013
=c^2013*[e^(2*2013*π/3)i+e^(-2*2013*π/3)i+1]
=3*c^2013
可见在复数范围内是错误的。2013能被3整除，如果不能被3整除就可以=0了，改成2011或2012就可以了
在实数范围内
由a^2+b^2+c^2=0就得出
a=b=c=0
可以看成正确，但第一个条件就用不上了，总而言之题目不严谨