Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=- 12x+b（b＞0）分别交x轴，y轴于A，B两点，以OA，OB为边作矩形OACB……

如图，在平面直角坐标系中，直线y=- 12x+b（b＞0）分别交x轴，y轴于A，B两点，以OA，OB为边作矩形OACB，D为BC的中点．以M（4，0），N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S．
（1）求点P的坐标．
（2）当b值由小到大变化时，求S与b的函数关系式．
（3）若在直线y=- 12x+b（b＞0）上存在点Q，使∠OQM等于90°，请直接写出b的取值范围．
（4）在b值的变化过程中，若△PCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的b值．

Answer 1

解：1）由已知可以得到A(2b,0) , B(0,b) ,C(2b,b) ,D(b,b) CD=b
因为以M(4,0)N(8,0)为斜边的等腰直角三角形△PMN，底边的高和底边中线重合，所以高等于1/2斜边的长，易得 P（6，2）。
2）矩形OABC与三角形PMN重叠部分是四种不同情况，
第一：没重合，S=0 （2≥b＞0，OM≥OA)
第二：重合部分是一个以MA为直角边的等腰直角三角形，MA=(2b-4),
S=1/2 ×MA²=1/2(2b-4)² (3≥b＞2)
第三：重合部分是△PMN 减去以AN为直角边的等腰直角三角形的那部分，AN=8-2b，S=4-1/2(8-2b)² (4＞b＞3)
第四：当b≥4时，重合部分是△PMN，S=4
,设Q（x,b- 1/2x),因为∠OQM=90°,O(0,0),M(4,0)所以OQ²+QM²=OM²，
即[ X²+（b- 1/2x)²]+[（x-4）²+（b- 1/2x)²]=4 ²，
整理得5/2X²-(2b+8)X+2b²=0，5/4X²-(b+4)X+b²=0，
根据题意这个方程必须有解，也就是判别式△≥0，即(b+4)²-5b²≥0,-b²+2b+4≥0,b²-2b-4≤0,可以解得 1-√5≤b≤1+√5，由于b＞0，所以0＜b≤1+√5.
4），△PCD为等腰三角形可分为三种情况：P（6，2），C(2b,b) ，D(b,b)
第一：CP=DP，（6-2b）²+（2-b）²=（6-b）²+（2-b）²所以b=4
第二：CD=CP 则b²=（6-2b）²+（2-b）² ，b²-7 b+10=0， ,解得 b=5（b=2时PCD在一条直线上，不符，舍去）
第三：CD=DP 则b²=（6-b）²+（2-b）²， 解得 b=8-2√6 （ b=8+2√6，不符，舍去）

Answer 2

解：1）过P作PE垂直x轴于E，则PE=ME=NE=1/2 MN= 2， OE=OM+ME=6，所以P（6，2）
2） 可知y=-0.5x+b交x轴A（2b，0），交y轴点B（0，b）
当2<b<=3时，MA=2b-4，所以S=1/2 （2b-4）^2 = 2b^2 -8b+8
当3<b<=4时，AN=8-2b ，所以S= MPN面积-1/2*AN^2 = 4- 1/2 (8-2b)^2 =-2b^2+16b-28
3)此时，b的最大值应为直线y=-0.5x+b与以OM为直径的圆相切时的值，设此圆心为G，则GQ垂直AB，可知三角形GQA相似三角形BOA，所以由GQ=GM=2可得，QA=4，所以GA=2根5
所以2b=2+2根5， 所以b=1+根5 ， 所以0<b<=1+根5
4）△PCD为等腰三角形时，分三种情况PC=CD、PC=PD、CD=DP计算
得b=8-2根6或b=4或b=5

追问

当2<b<=3时，MA=2b-4，所以S=1/2 （2b-4）^2 = 2b^2 -8b+8
当3<b<=4时，AN=8-2b ，所以S= MPN面积-1/2*AN^2 = 4- 1/2 (8-2b)^2 =-2b^2+16b-28

这取值范围是怎么得出的？

Answer 3

直线是y=- 12x+b还是y=- 1/2x+b

Answer 4

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