Question

初一数学题，谢谢！

1/8可不可以分为三个互异完全平方数的倒数的和？为什么？
帮忙算一下，谢谢！O(∩_∩)O~~

Answer 1

不妨设 a<b<c，现在的问题就是寻找整a，b，c，满足1/8=1/a^2+1/b^2+1/c^2

由a<b<c ，则有1/a^2>1/b^2>1/c^2，从而 1/8=1/a^2+1/b^2+1/c^2 < 3/a^2
所以a^2<24。又有1/8>1/a^2 ，所以a^2>8，故a^2=9 或16。
若 a^2=9，则有 1/b^2+1/c^2=1/8-1/9=1/72 ，由于 1/72<1/b^2，并且2/b^2>1/b^2+1/c^2=1/72 ，
所以b^2>72，72<b^2<144。
故 b^2=81 ，100或121。将 b^2=81 、100和121分别代入 c^2=72b/b^2-72 ，没有一个是完全平方数，说明当 a^2=9 时， 无解。
若 a^2=16 ，则 1/b^2+1/c^2=1/8-1/16=1/16 。类似地，可得：16<b^2<32
，即 b^2=25 ，
此时，c^2= 16b^2/b^2-16=16*25/9不是整数。

综上所述，1/8 不能分为三个互异完全平方数的倒数的和