Question

如何证明柯西不等式的积分形式?

Answer 1

可以先证明欧几里德空间中的柯西–布尼亚科夫斯基不等式，然后将其一举应用到离散形式和积分形式。

欧几里德空间是指带有内积运算的线性空间。对于其中任意两个元素α，β，定义一个二元实函数(α，β)，具有性质:

1.(α，β)=(β，α)

2.(α+β，γ)=(α，γ)+(β，γ)

3.(α，α)≥0，当且仅当α是零向量时取等号。

需要注意的是内积运算到底怎么算并无规定，只要满足上述三条性质即可。因此这里说的是广义的内积。

下面证明柯西–布尼亚科夫斯基不等式:

|(α，β)|≤‖α‖‖β‖，其中‖α‖是√(α，α)，即α的长度。

置γ=α+kβ，其中k是待定系数。

则(γ，γ)=(α，α)+2k(α，β)+k²(β，β)≥0

现在取k=-(α，β)/(β，β)

带入上式，得:

(α，α)-2(α，β)²/(β，β)+(α，β)²/(β，β)

从而(α，α)≥(α，β)²/(β，β)

立得(α，β)²≤(α，α)(β，β)

两边开方，不等式得证。

现在马上令[a,b]上的全体连续函数的集合为一个线性空间，定义内积运算(f,g)=∫ f(x)g(x)dx显然这是一个欧几里德空间。利用柯西不等式，立即有积分结果。

二维形式的证明:

（a2+bB）=（c2+d2）

=a2×2+b2×d2+a2×d2+b2×c2

=（ac+bd）2+（ad-bc）22（ac+bd）2（a，b，c，dE R）

等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。

三角形式的证明:

（Va2 +b'+Vee+df）2

=a2+b2+c2+d2+2Va2+b°×Vc+de

≥a2+b2+C2+d2+2lac+bdl

2a2-2ac+c2+b2-2bd+d2

=（a-c02+（b-d）2两边开平方得：

Va-+'+ve+df2（a-c）2+（0-d）。