Question

根号下1-x^2的不定积分是什么？

Answer 1

结果是 (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C。

x = sinθ，dx = cosθ dθ。

∫ √(1 - x²) dx = ∫ √(1 - sin²θ)(cosθ dθ) = ∫ cos²θ dθ。

= ∫ (1 + cos2θ)/2 dθ = θ/2 + (sin2θ)/4 + C。

= (arcsinx)/2 + (sinθcosθ)/2 + C。

= (arcsinx)/2 + (x√(1 - x²))/2 + C。

= (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C。

基本概念：

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。这样，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。

设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

由定义可知：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分。