Question

高数曲线积分题目求解

Answer 1

如图，求解过程与结果如图所示

追问

你好，谢谢你的解答。请问是因为这里只积y，然后才代的参数方程吗？因为我一开始在纠结要不要补全来用格林公式。谢谢~

Answer 2

补充线段 BA， 成封闭曲线。
I = ∫<ACB>(x^2+2xy)dy = ∮<ACB+BA>(x^2+2xy)dy - ∫<BA>(x^2+2xy)dy
前者用格林公式 ， 后者 dy = 0. 得
I = ∫∫<D>2(x+y)dxdy， 令 x = arcost， y = brsint， dxdy = abrdrdt，
I = 2ab∫<0，π>dt∫<0, 1>(acost+bsint)r^2dr
= 2ab∫<0，π>(acost+bsint)dt[r^3/3]<0, 1>
= (2ab/3)<0，π>(acost+bsint)dt
= (2ab/3)[asint-bcost]<0，π> = (4/3)ab^2