Question

万能公式 三角函数推导是什么？

Answer 1

万能公式三角函数推导：

三角函数的万能公式如下：

(1)(sinα）＾2+(cosα）＾2=1。

(2)1+(tanα）＾2=(secα）＾2。

(3)1+(cotα）＾2=(cscα）＾2。

证明下面两式，只需将一式，左右同除（sinα）＾2,第二个除（cosα）＾2即可。

(4)对于任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。

三角函数万能公式证明：

整理可得三角函数万能公式：

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。

得证：

同样可以得证三角函数万能公式，当x+y+z=nπ（n∈Z)时，该关系式也成立。

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论。

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1。

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)。

(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC。

三角函数万能公式证明：

由余弦定理：a^2+b^2-c^2-2abcosC=0。

正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。

得（sinA)^2+(sinB)^2-(sinC)^2-2sinAsinBcosC=0。

转化1-(cosA)^2+1-(cosB)^2--2sinAsinBcosC=0。

即（cosA)^2+(cosB)^2-(cosC)^2+2sinAsinBcosC-1=0。

又cos(C)=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB。

得（cosA)^2+(cosB)^2-(cosC)^2+2cosC-1=0。

(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC。

得证：

(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC。