Question

如图,在棱长都为a的四面体ABCD中,E.F分别为AD,BC的中点.

(1),求证，EF是AD和BC的公垂线，并求EF的长。
（2），求异面直线AF与CE所成的角的余弦值。

Answer 1

1.连AF、DF
∵△ABC≌△DBC(SSS)
∴AF=DF
又E是AD的中点
∴EF⊥AD(等腰三角形底边的高与中线重合)
∵AF⊥BC，DF⊥BC
∴BC⊥面AFD
∴BC⊥EF
∴EF是AD和BC的公垂线
AF=√3·a/2，AE=a/2
∴EF=√2·a/2
2.作EG∥AF，交DF于G，连CG
则∠CEG为AF与CE所成的角，设为α
EG=AF/2=√3·a/4
CE=√3·a/2
FG=DF/2=√3·a/4(EG是三角形AFD的中位线)
CF=a/2
CG=√7·a/4
cosα=(CE²+EG²-CG²)/(2CE·EG)=2/3