Question

DE为BC边三等分点，M为AC的中点，BM交AD，AE于点G、H。则BG:GH:HM=

Answer 1

证明：连接ME

因为M、E是AC 、CD中点。

∴ ME//AD  ME=AD/2

又D是BE中点， DG//ME 

∴  DG=ME/2=AD/4  

∴ AG=3AD/4  且 G是BM中点

∴ BG=GM  则BG:GM=1：1

因为 ME//AD 

∴ △MEH∽△AGH

∴ GH：HM=AG：ME=3AD/4：AD/2=3：2

也就是 GH和HM 分别是GM的3/5  和 2/5 

因为BG=GM=GH+HM 

所以 BG:GH:HM=5：3：2

Answer 2

解：过点M作MK∥BC，交AD，AE分别于K，N，
∵M是AC的中点，
∴MN/BC=NK/DE=AN/AE=AM/AC=1/2 ，
∵D、E是BC的三等分点，
∴BD=DE=EC，
∴MN=NK，
∵ MN/BE=MH/BH=1/4 ，MK/BD=MG/BG =1，
∴MH=1/4 BH，MG=BG，
设MH=a，BH=4a，BG=GM=5a/2 ，
∴GH=GM-MN=3a/2 ，
∴BG：GH：HM=5a/2 ：3a/2 ：a=5：3：2．
故答案为：5：3：2．