Question

线性方程组有无穷多解怎么证明？

Answer 1

假定对于一个含有n个未知数m个方程的非齐次线性方程组而言，若n<=m, 则有：

1）当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均等于方程组中未知数个数n的时候，方程组有唯一解

2）当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均小于方程组中未知数个数n的时候，方程组有无穷多解

3）当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解

（注：由于对于矩阵的秩有：max{R(A),R(B)}<=R(A,B)，故不存在其它情形）

若n>m时，则按照上述讨论，

4）当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等的时候，方程组有无穷多解

5）当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解

非齐次线性方程组  

有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否则为无解）。

非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。

非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩）

扩展资料：

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于  ，即可写出含n-r个参数的通解。

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

齐次线性方程组解的性质：

定理1 若x是齐次线性方程组  的一个解，则kx也是它的解，其中k是任意常数。

定理2 若x1,x2是齐次线性方程组  的两个解，则x1+x2也是它的解。

定理3 对齐次线性方程组  ，若r(A)=r<n，则  存在基础解系，且基础解系所含向量的个数为n-r，即其解空间的维数为n-r。

参考资料：百度百科---非齐次线性方程组