Question

若函数f(x)是以T为周期的连续函数,试证:(1)∫(a,a+T)f(x)dx=∫(0,T)f(x)dx=∫(-T/2,T/2） f(x)dx

(2)∫(0,T)f(x)dx=0,当f(x)为奇函数时。、
(a,a+T)中，a是下限，a+T是上限，后面同理，求详解

Answer 1

1，∫(0,T)f(x)dx=T/n(f(T/n)+f(2T/n).................f(nT/n))当n趋向于无穷的的极限
∫(a,a+T)f(x)dx=T/n(f(a+T/n)+f(a+2T/n)................f(a+nT/n))当n趋向于无穷的的极限
下面对第二个化简
因为周期是T所以f(a+kT/n)=f(kT/n)
所以T/n(f(a+T/n)+f(a+2T/n)................f(a+nT/n))=T/n(f(T/n)+f(2T/n).................f(nT/n))
所以)∫(a,a+T)f(x)dx=∫(0,T)f(x)dx，代入a=-T/2
可得∫(0,T)f(x)dx=∫(-T/2,T/2）f(x)dx
所以的证原命题

2，就是求∫(-T/2,T/2）f(x)dx根据区间可拆分性质
∫(-T/2,T)f(x)dx=
∫(0,T/2)f(x)dx+∫(-T/2,0)f(x)dx，分别用上面的式子展开
再利用奇函数f(x)=-f(-x)的性质
相加之后便可得到结果

希望有所帮助

Answer 2

(1)∫(a,a+T)f(x)dx=∫(0,T)f(x)dx=∫(-T/2,T/2） f(x)dx
对于上式，先证明左侧等式 ∫(a,a+T)f(x)dx=∫(0,T)f(x)dx
令 F(x) = ∫(a,a+T)f(x)dx - ∫(0,T)f(x)dx
= [∫(a,T)f(x)dx + ∫(T,a+T)f(x)dx] - [∫(0,a)f(x)dx +∫(a,T)f(x)dx]
= ∫(T,a+T)f(x)dx - ∫(0,a)f(x)dx
= ∫(0,a)f(y+T)dy [令y=x-T ] - ∫(0,a)f(x)dx
= ∫(0,a)f(x+T)dx [仅替换变量字母不改变原式 ] - ∫(0,a)f(x)dx
= ∫(0,a)[f(x+T) - f(x)] dx
因为 函数f(x)是以T为周期的连续函数，所以 f(x+T) = f(x)，所以f(x+T) - f(x)=0
所以 ∫(0,a)[f(x+T) - f(x)] dx =0，也即 F(x) = ∫(a,a+T)f(x)dx - ∫(0,T)f(x)dx = 0
由此得证 ∫(a,a+T)f(x)dx = ∫(0,T)f(x)dx

再次证明等式右边 ∫(0,T)f(x)dx=∫(-T/2,T/2) f(x)dx
∫(-T/2,T/2) f(x)dx =∫(0,T)f(x)dx
将上面证明中的a替换成 -T/2，证明方法一模一样。

（2）、利用第（1）题中得等式 ∫(0,T)f(x)dx=∫(-T/2,T/2) f(x)dx
对于 ∫(-T/2,T/2) f(x)dx，被积函数f(x)是奇函数，且积分区间是关于y轴对称，有定积分的对称性原理可知：∫(-T/2,T/2) f(x)dx = 0
因此 ∫(0,T)f(x)dx = 0