Question

平面图形的面积怎么求？

Answer 1

平面图形面积的本质与通用公式

    数是数出来的，量是量出来的。度量是刻画图形大小的一种手段。度指的是单位，量指的是数量。度量是数学发展的根源，代数中有量与常用的量，几何中有刻画图形不同属性的大小——周长、面积、体积……

    线段是一维的，只需要用测量长度的工具（尺子）度量出长的数值就可以，因此叫长度。封闭的平面图形四周长度之和就叫做周长。

    面的大小是由两个方向上的量来刻画的，而且是这两个量的乘积来刻画“面积单位”的个数，因此就叫做面积。

    同理，体的大小需要长宽高三个量的乘积来刻画“体积单位”个数的大小，因此叫做体积。

    常用的平面图形中，长方形可以用长乘宽来刻画面积单位的个数，因为假设长方形的长是5厘米，宽是3厘米的话，则一行可以摆5个这样的面积单位；一共可以摆3行。一共有5×3=15个这样的面积单位。可以发现，实际上的5厘米与5个1厘米的意义是不一样的，3厘米与3行的意义也不一样。不过表面上的数值的大小是一样的。因此，教学长方形面积的时候，一定不能简简单单的让孩子记住长方形的面积等于长乘宽。这里面有他一个意义转化的过程，而且这个转化的过程需要让孩子经历，并且脑海中留下对应的动态画面……

换言之，教学时要适时进行长方形面积公式的抽象概括、避免过早进入式化计算阶段 。

在实际教学中，经常会遇到学生将长度单位与面积单位混淆的现象，这并非全是马虎所致，究其原因很可能是在面积计算的学习中，忽视用面积单位度量的过程，过早进行形式化计算的缘故。

数学教育家俞子夷认为②,儿童求面积有以下三种情况：一5平方厘米×3=15平方厘米，这种方法具体，容易理解，通常为初学者使用；二是5×3=15平方厘米，它是一种简写形式，经常在练习中使用；三是5厘米×3厘米=15平方厘米，它一般与实际测量作图相结合，或计算应用题时采用。

因此，建议教学中不要过早进入到面积计算的简写形式，可以先用“2平方米×2=4平方米”的形式进行表征，使学生对这个算式及面积单位的实际意义有更好的理解。

在学生有了一定认识并认可面积单位后，再逐步抽象，用简写的形式(2×2=4平方米)表示面积计算的过程。——以上粗体字摘抄于数学教学用书。

在孩子理解了长方形面积的本质是每行的面积单位个数×行数后，可以利用这个本质特征来推导三角形、平行四边形、梯形、圆的面积公式。比如：平行四边形的面积＝底×高。这个底和高的背后代表着什么意思呢？底是代表每行的面积单位个数，高代表有这样的几行。不过，堆积的时候不是垂直的，而是向着一个方向有着一定的斜率堆放。因此，斜出来的边是不起作用的。真正起作用的是高，它代表着有这样的几行。三角形、梯形、圆都可以转化成每行的面积单位个数×行数来计算有多少个面积单位。由此也可以发现，长方形的面积公式是源头。

当然，如果采用教材上单纯的图形转化来看，平行四边形是面积公式的中转站，都可以转化成平行四边形来推导（长正方形是特殊的平行四边形）；还有，所有的公式都归于梯形的面积公式。换言之，从不同的角度去思考、可以有不同的教学组织形式。