Question

14.(18分)已知函数+f(x)=(x^2+ax)/(2x^2+1)+,曲线y=f(x)在点(0.f(0)的切线与+

Answer 1

问：14.(18分)已知函数+f(x)=(x^2+ax)/(2x^2+1)+,曲线y=f(x)在点(0.f(0)的切线与+

答：亲爱的用户， 由题可知，函数 $f(x)=\frac{x^2+ax}{2x^2+1}+$。我们需要找到在点 $(0,f(0))$ 处的切线与 $x$ 轴垂直。 首先，我们来计算 $f(0)$ 的值： $$f(0)=\frac{0^2+a\times 0}{2\times 0^2+1}=0$$ 这样，我们得到了点 $(0,0)$。 设点 $(x_0,y_0)$ 在曲线上，则该点处的切线斜率为： $$k=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0)$$ 由于要求切线与 $x$ 轴垂直，因此该切线的斜率为 $-\frac{1}{k}$。同时，由于该点在曲线上，因此其满足曲线方程 $$y=f(x)=\frac{x^2+ax}{2x^2+1}$$ 接下来，我们需要求出函数 $f(x)$ 在点 $(0,0)$ 的导数 $f'(0)$ 以及斜率 $k$。根据导数的定义，有： $$f'(0)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0} \frac{x^2+ax}{(2x^2+1)x}=\lim_{x \to 0} \frac{x+a}{2x^2+1}$$ 将上面的式子和 $\frac{1}{k}=-2x_0^2$ 代入，可以得到： $$y=2x_0^2(x-x_0)$$ 因此，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $y=2x^2$。

答：亲亲，扩展如下，接下来，我们需要判断切线是否与 $y=\frac{x^2+ax}{2x^2+1}$ 相交。设切线方程为 $y=2x^2$，则将其代入函数 $f(x)$ 的方程中解得$$2x^2=\frac{x^2+ax}{2x^2+1}$$化简得到：$$2x^4+x^2-ax=0$$根据韦达定理，该方程的两个根之和为 0。因此，这两个根互为相反数，即 $x_1=-x_2$。对于任意实数 $a$，都存在实数 $x_0$ 使得 $\frac{1}{k}=-2x_0^2$，因此也存在 $x_0$ 使上面的方程有两个不同的实根。因此，必然存在一个 $x_0$ 使得切线与曲线相交。综上所述，在点 $(0,0)$ 处的切线与曲线 $y=\frac{x^2+ax}{2x^2+1}$ 必然相交。

问：14.(18分)已知函数+f(x)=(x^2+ax)/(2x^2+1)+,曲线y=f(x)在点(0.f(0)的切线与直线2x-y+1=0平行。 1.求a。 2.求f（x）

答：亲亲，首先我们来解决第一个问题，即求常数a的值。根据题目条件，曲线y=f(x)在点(0,f(0))的切线与直线2x-y+1=0平行，说明这两条直线的斜率相等。因此，我们可以分别求出曲线在点(0,f(0))处的切线斜率和直线2x-y+1=0的斜率，然后将它们相等，得出常数a的值。首先求曲线在点(0,f(0))处的切线斜率：f'(x) = [2x(2x^2+1)-(x^2+a)(4x)]/(2x^2+1)^2f'(0) = (0 - a*0)/1 = 0所以，在点(0,f(0))处的切线斜率为0。接下来求直线2x-y+1=0的斜率：2x-y+1=0y = 2x + 1所以直线的斜率为2。由于切线斜率和直线斜率相等，因此有：f'(0) = 2代入f'(x)的表达式中，可得：f'(0) = [2*0(2*0^2+1)-(0^2+a)(4*0)]/(2*0^2+1)^2 = -a/1 = 2解得a=-2。因此，当a=-2时，曲线y=f(x)=(x^2-2x)/(2x^2+1)在点(0,f(0))的切线与直线2x-y+1=0平行。接下来我们解决第二个问题，即求函数f(x)的表达式。我们根据f(x)的表达式和切线的定义式：y - f(0) = f'(0)(x - 0)可以求出点(0, f(0))处的切线方程。其中f(0)已知，f'(0)也已经在求常数a的过程中求得。y - f(0) = f'(0)(x - 0)y - f(0) = 2x将函数f(x)代入上式可得：f(x) - f(0) = 2x。f(x) = f(0) + 2x因此，函数f(x)的表达式为：f(x) = (x^2 - 2x)/(2x^2 + 1) + 2x。或简化为：f(x) = (-x^3 + 4x)/(2x^2 + 1)

问：甲、乙、丙了人参加国防知识竞赛，设甲、乙、丙在充费中获得满分的概车分别为1/3、2/3、1/2 且3人的竞赛成绩相互独立，（1）求恰有2人获得满分的概率；(2）求至少有1人获得满分的概率。

答：亲亲设甲、乙、丙分别为事件A、B、C，表示他们获得满分的事件。则有：P(A) = 1/3P(B) = 2/P(C) = 1/2(1) 恰有2人获得满分的概率可以分为3种情况：情况1：甲、乙获得满分，丙未获得满分P(AB̄C) = P(A) × P(B) × (1-P(C)) = (1/3) × (2/3) × (1/2) = 1/9情况2：甲、丙获得满分，乙未获得满分P(AC̄B) = P(A) × (1-P(B)) × P(C) = (1/3) × (1/3) × (1/2) = 1/18情况3：乙、丙获得满分，甲未获得满分P(BC̄A) = (1-P(A)) × P(B) × P(C) = (2/3) × (2/3) × (1/2) = 2/9因此，恰有2人获得满分的概率为：P(2人获得满分) = P(AB̄C) + P(AC̄B) + P(BC̄A) = 1/9 + 1/18 + 2/9 = 5/18(2) 至少有1人获得满分的概率可以用全概率公式求解：P(至少有1人获得满分) = P(A∪B∪C)= P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)= 1/3 + 2/3 + 1/2 - (1/3×2/3) - (1/3×1/2) - (2/3×1/2) + (1/3×2/3×1/2)= 19/36因此，至少有1人获得满分的概率为19/36哦。

问：cos55° cos 10° + cos35° sin 10° =

答：亲亲，我们可以利用三角函数的和差公式，先将式子中的两个三角函数写成同一个角的三角函数形式，然后再利用三角函数的诱导公式将其转化为另外一个角的三角函数形式，最后应用三角函数的倍角公式进行简化。具体操作过程如下： cos55° cos10° + cos35° sin10° = cos(55°-10°) + cos(35°+10°) （和差公式） = cos45°cos10° - sin45°sin10° + cos35°cos10° - sin35°sin10° （余角公式） = √2/2 * cos10° - √2/2 * sin10° + cos35°cos10° - sin35°sin10° （代入cos45°=sin45°=√2/2） = cos10° ( √2/2 - √2/2sin55°) + sin10° ( -√2/2 + cos35° ) （分离因子） = cos10° cos55° + sin10° cos35° （诱导公式） 所以，cos55° cos10° + cos35° sin 10° = cos10° cos55° + sin10° cos35°哦。

问：己知函数f（x）=mx^3-（m +1）x^3在区间（1，+&）单调递增，则m 的取值范围是

答：亲亲取值范围为 0 leq m leq -3。

问：cos55° cos 10° + cos35° sin 10° 的值为多少

答：亲亲，最终结果约为1.057。