Question

已知函数f（x）=sin2分之1x加根号3cos2分之1x加1求最小正周期和值域

Answer 1

先写清楚点题目：
f(x) = sin(x/2) + sqrt [3cos(x/2) + 1]
周期很好求，就是sin(x)和cos(x)的周期是2π，所以f(x)的周期就是2π/2 = 4π；
值域的话很麻烦，不知道你的题目是否正确，不过下面的方法你是可以看看的。
要求值域，首先求定义域：
3cos(x/2) + 1 >=0 , cos(x/2) >= -1/3, arccos(1/3) - (2k+1)π <= x/2 <= arccos(-1/3) + 2kπ，k为整数。（下面的讨论省略2kπ了，含义是一样的）
注意到 - 1/3 > - sqrt(2) / 2的，所以 x/2 > 5π/4.
下面通过导数判断函数f(x)的单调性。
显然，当x/2在区间[-π/2, 0]，以及[π/2, arcccos(-1/3)]上时，函数f(x)都是单调的：
x/2属于[-π/2, 0]时，sin和cos都是单调递增的，所以f单调递增；
x/2属于[π/2, arcccos(-1/3)]时，sin和cos都是单调递减的，所以f单调递减；
问题在于求解f(x)在剩下两段区间，也就是x/2属于[arccos(1/3) - π, -π/2]以及第一象限内的单调性。判断这一点我们使用求导的办法。
f'(x) = 1/2 * cos(x/2) - 3/4 * sin (x/2) / sqrt [ 3cos(x/2)+1 ]
当x/2属于[arccos(1/3) - π, -π/2]时，cos(x/2)属于[-1/3, 0]，sin(x/2)属于[-1, -2sqrt(2)/3]。
因此导数的第二项（含负号）始终是一个正数，第一项是一个负数。第二项中，分母随着x/2的增大而增大（注意是取了负号的），分子也是不断增大，但是无论如何，这个比值至少为
3/4 * 2sqrt(2)/3 / sqrt(3)，因为它是当-sin(x/2)取可能的最小值而cos(x/2)取可能的最大值得到的比例，可以验证这个比例是大于第一项 1/2 * cos(x/2)在该区间内的最小值的，因为1/2 * cos(x/2)最多只能取到 - 1/6，而3/4 * 2sqrt(2)/3 / sqrt(3) - 1/6 > 0。也就是说，当x/2属于[arccos(1/3) - π, -π/2]时，导数的第一项总是不可能超过第二项，所以相减后仍然为正，函数在这一段上也是单调递增的，求得 f(2（arccos(1/3) - π）) = -2sqrt(2)/3。
最后看第一象限的情况。当x/2属于[0,π/2]时，
f'(x) = 1/2 * cos(x/2) - 3/4 * sin (x/2) / sqrt [ 3cos(x/2)+1 ]
导数第一项为正且递减的，第二项（不包括负号）也是正的但是递增，因此整个导数在这一区间内是单调递减的。
f'(0) = 1/2 > 0，这是导数在这一区间内的最大值；
f'(π) = - 3/4 / 1 = -3/4，这是导数在这一区间内的最小值。显然该导数存在唯一的零点，函数在该点取最大值，因为在到达这一点之前，根据前面的论证，函数都是单调递增的；到达这一点之后，结合函数在区间[π/2, arcccos(-1/3)]的性质，函数始终是单调递减的。
令 f'(x) = 0，得到3sin(x/2)/2/sqrt(3cos(x/2)+1) = cos(x/2)，令u = cos(x/2)，则sin(x/2) = sqrt (1-u^2)，代入化简可以得到如下三次方程：
12u^3 + 13u^2 - 9 = 0.
这个方程没法因式分解，所以我怀疑你题目是否有问题。
总之，求最大值就只要解f'(x)=0就可以了，而且只有一个根。
最小值的话，由于已经知道f(x)是先递增后递减，所以只需比较两个端点的数值即可：
f(2（arccos(1/3) - π）) = -2sqrt(2)/3；
f(2arccos(-1/3)) = 2sqrt(2)/3；
显然最小值为-2sqrt(2)/3。 上面任何一步哪一步继续有问题的，我还可以回答的。

Answer 2

f(x)=sin(x/2)+√3cos(x/2)+1
=2sin(x/2+π/3)+1
T=2π/(1/2)=4π
因为正弦函数的值域是[-1,1]
所以 f(x)∈[-1,3]