设函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点x1、x2，且x1<x2，求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性；并证明：f(... 20
设函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点x1、x2，且x1<x2，求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性；并证明：f(x2)>1-2ln2/4....
设函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点x1、x2，且x1<x2，求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性；并证明：f(x2)>1-2ln2/4.
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证明：设t=√(1-2a),则0<t<1,a=(1-t^2)/2,x2=(t-1)/2,
f(x2)=[(t-1)/2]^2+[(1-t^2)/2]ln[(t+1)/2],记为g(t)。
g’(t)=(t-1)/2+(1-t^2)/(t+1)-2tln[(t+1)/2]=(1-t)/2-2tln[(t+1)/2]>0,
∴g(t)>g(0)=1/4+(1/2)ln(1/2)= (1-2ln2)/4,
即f(x2)> (1-2ln2)/4.
f(x2)=[(t-1)/2]^2+[(1-t^2)/2]ln[(t+1)/2],记为g(t)。
g’(t)=(t-1)/2+(1-t^2)/(t+1)-2tln[(t+1)/2]=(1-t)/2-2tln[(t+1)/2]>0,
∴g(t)>g(0)=1/4+(1/2)ln(1/2)= (1-2ln2)/4,
即f(x2)> (1-2ln2)/4.
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