Question

已知四边形ABCD中，AC=BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA中点，求四边形EFGH是菱形。

不用中位线定理

Answer 1

因为E,H分别为AB，AD的中点，所以EH平行于BD，同理FG平行于BD，所以EH平行于FG
三角形AEH相似于三角形ABD，EH=1/2BD,同理FG=1/2BD,所以EH=FG
同理可推出EF平行于HG，且EF=HG
四边形EFGH对边平行且相等，所以四边形EFGH是菱形

Answer 2

证明：
∵E、F分别为AB、BC中点
∴BE/BA=BF/BC=1/2
又：角EBF=角ABC
∴△EBF∽△ABC
∴EF/AC=BE/BA=BF/BC=1/2
∴EF=1/2AC
同理：FG=1/2BD，GH=1/2AC，HE=1/2BD
又：AC=BD
∴EF=FG=GH=HE
∴四边形EFGH是菱形