Question

在直角三角形ABC中，角C等于90度，角A角B角C的对边分别是a,b,c且三角形ABC的周长为2√(3）+5，斜边上的

中线为2，求三角形ABC的面积及斜边上的高

Answer 1

设斜边的中点为D，斜边高的垂足为E，已知斜边上的中线为2，则斜边c=2*2=4
b²=c²-a²=4²-a²=16-a²
b=√16-a²
a+b+c=2√3+5
a+√16-a²+4=2√3+5
√16-a²=2√3+1-a
16-a²=12+4√3+1-2(2√3+1)a+a²
2a²-2(2√3+1)a-3+4√3=0
求根公式　a=[-b±√(b²-4ac)]/2a
a=[2(2√3+1)±√((2(2√3+1))²-4*2*(-3+4√3))]/2*2
=[2(2√3+1)±√((4(12+4√3+1))+24-32√3))]/4
=[2(2√3+1)±√(48+16√3+4+24-32√3)]/4
=[2(2√3+1)±√(76-16√3)]/4
=[8.928±6.949]/4
a1=3.969 a2=0.495
b=√16-a²
b1=0.495 b2=3.969
三角形面积=a*b/2=3.969*0.495/2=0.982
在RT△AEC与RT△ACB中
∠A为共角，
∴RT△AEC∽RT△ACB
EC/BC=AC/AB
斜边上的高EC=BC*AC/AB=a*b/c=3.969*0.495/4=0.491
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追问

能少点吗

追答

做复杂了。
应该可以更简单，已知斜边上的中线为2，则斜边c=2*2=4
根据勾股定理：a²+b²=c² → a²+b²=16 ①
a+b+c=2√(3）+5 → a+b+4=2√(3）+5 → a+b=2√(3）+1 ②

②式两过平方得：a²+2ab+b²=12+4√(3）+1 ③
③式减 ①得：2ab=4√(3）-3 → ab=(4√(3）-3)/2
则面积为：a*b/2=((4√(3）-3)/2)/2=(4√(3）-3)/4
直角三角形ABC的面积也可　以=c*h/2=(4√(3）-3)/4
4*h/2=(4√(3）-3)/4
则斜边上的高h=(4√(3）-3)/8

Answer 2

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 所以斜边长度为4
a+b+4=2√(3）+5，a^2+b^2=16
解得2ab=4√(3）-3
所以三角形的面积=√(3）-3/4
斜边上的高=√(3）/4-3/16

追问

a的平方加b的平方为什么等于16

追答

因为斜边等于4 所以斜边的平凡等于16