Question

设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为e=根号2/2,点A是椭圆上的一点,且点A

设椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为e=根号2/2，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆c的两焦点的距离之和为4，求椭圆C的方程2.椭圆C上一动点P关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1)，求3X1-4Y1的取值范围

Answer 1

解：2a=4 a=2 e=c/a =√2/2 c==√2 b^2=4-2=2
椭圆方程：x^2/4+y^2/2=1
已知直线方程y=2x k=2 动点P（x,y） 直线PP1 (y-y1)/(x-x1)=--1/2
pp1中点[(x+x1)/2,(y+y1)/2]在方程y=2x上 整理得：y+y1=2x+2x1 2y-2y1=--x+x1
解方程 y=0.8x1+0.6y1 x=0.8y1`--0.6x1 代入椭圆方程得：1.64x^2+0.96xy+1.36y^2=4
41x^2+24xy+34y^2=100 设3x--4y=c代入方程41x^2+24xy+34y^2=100
1250x^2--300cx+34c^2--1600=0 判别式90000c^2+4*1250*(1600--34c^2)>=0
--80000c^2>=--5000*1600 c^2<=100 +10>= c >=--10
所以3X1-4Y1的取值范围：[-10,+10]

Answer 2

1.由椭圆性质得|AC1+AC2|=4=2a
所以a=2
又因为c/a=√2/2 a²=b²+c²
可求得b=√2
所以椭圆方程为x^2/4+y^2/2=1
2.设P（x，y），则有(y+y1)/2=2(x+x1)/2 (y-y1)/(x-x1)=-1/2，
化简得y+y1=2x+2x1，y-y1=-x/2+x1/2
两式相减，得3x1-4y1=-5x
由椭圆方程可知，x取值范围为[-2,2]
所以3x1-4y1的取值范围为[-10,10]