Question

已知二次函数y=x^2-(m-3)x-m的图像是抛物线

(1)试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3

(2)当m为何值时，抛物线y=x^2-(m-3)x-m与x负半轴交于两点

(3)设抛物线的顶点为M，与x轴的焦点P、Q，求当PQ最短时三角形MPQ的面积。问题补充：

Answer 1

y=x^2-(m-3)x-m
判别式=(m-3)^2+4m=(m-1)^2+8恒大于零
根据韦达定理：x1+x2=(m-3)，x1x2=-m

(1)抛物线与x轴的两个交点间的距离是3
(x2-x1)^2=9
(x1+x2)^2-4x1x2=9
(m-3)^2-4m=9
m(m-10)=0
m=0，或m=10

(2)与x负半轴交于两点
x1+x2＜0，并且x1x2＞0
m-3＜0，并且=-m＞0
m＜3，并且m＜0
∴m＜0

(3)PQ最短
(x2-x1)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(m-3)^2-4m=m^2-10m+9=(m-5)^2+34 ≥ 34
m=5时，PQ=|x2-x1|有最小值√34
y=x^2-(m-3)x-m = x^2-2x-5 = (x-1)^2-6，顶点（1，-6），MN=6
三角形MPQ的面积 = 1/2PQ*MN = 1/2*√34*6 = 3√34

Answer 2

(1)
y=x^2-(m-3)x-m
令y=0
0=x^2-(m-3)x-m
根据韦达定理:
{x1+x2=m-3
{x1x2=-m
∵(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2......①
由题意:PQ=x1-x2=3...................②
联立①②:
解:
m=0或m=2
(2)
f(x)=x^2-(m-3)x-m
要满足抛物线与x负半轴交于两点
要:
{(m-3)/2<0.............③
{△>0..................④
{f(0)>0................⑤
联立③④⑤
解:
m∈(-∞,3)
(3)
∵PQ^2=(x1-x2)^2=m^2-2m+9
∴m=1,PQmin=(x1-x2)min=2√2
二函数解析式:y=x^2+2x-1
∴顶点M(-1,-2)
∴S△MPQ=PQ*MN/2=2*2√2/2=2√2