Question

如图,已知在平面直角坐标系中有直角梯形ABCO,BC‖OA,顶点B的坐标是(2,4),定点A的

如图，已知在平面直角坐标系中有直角梯形ABCO，BC∥OA，顶点B的坐标是（2，4），定点A的坐标是（5，0），沿过点A的直线m折叠梯形ABCO，使点B与坐标原点O重合，直线m与y轴交与点G，连接BG并延长交x轴于点D。
（1）求直线BD的解析式
（2）设直角梯形ABCO的对角线交与点F，求线段OF的长度
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否点E，使E、O F与⊿BOD相似，请求出点E的坐标

Answer 1

解：
（1）沿过点A的直线m折叠梯形ABCO，使点B与坐标原点O重合，所以OB垂直AG，OB的解析式求得为y=2x，设AG的解析式为y=-x/2+b，把A（5，0）代入，解得b=5/2，所以G点的坐标为（0，5/2），设直线BD的解析式为y=kx+b，把B、G的坐标代入，解得k=3/4，b=5/2，所以直线BD的解析式为y=3x/4+5/2，D点的坐标为（-10/3，0）。
（2）AC的解析式求得为y=-4x/5+4，与OB的解析式求得为y=2x联立，求得x=10/7，y=20/7，即F的坐标为（10/7，20/7），OF=10根号5/7。
（3）OD=10/3，DB=4根号19/4，OB=2根号5，设E（0，y）
当三角形EFO与三角形BOD相似时，有OE：OF=BD：OD，OE=(BD*OF)/OD=4根号95/7，即E点的坐标为（0，4根号95/7）；
当三角形EOF与三角形BOD相似时，有OE：OB=OF：OD，OE=(OB*OF)/OD=30/7，即E点的坐标为（0，30/7）；
当三角形OEF与三角形BOD相似时，有OE：BO=OF：BD，OE=(BO*OF)BD=25根号19/19，即E点的坐标为（0，25根号19/19）；