Question

已知a是实数，函数f(x)=2ax^2+2x-3-a如果函数y=f(x)在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围？

Answer 1

a=0时，f(x)=2x-3, 零点为1.5, 不符
a<>0时，有零点需delta=4+8a(3+a)=4(2a^2+6a+1)>=0, 得：a>=(-3+√7)/2, or a<(-3-√7)/2
在[-1,1]有1个零点：f(-1)f(1)<=0, 得：(2a-2-3-a)(2a+2-3-a)<=0 得：(a-1)(a-5)<=0, 得：1=<a<=5
在[-1,1]有2个零点：有a,f(-1),f(1)同号, 得：得：a>5 or a<0
综合得：a>=1 or a<(-3-√7)/2 or (-3+√7)/2=<a<0

Answer 2

y=f（x）在区间[-1，1]上有零点转化为（2x2-1）a=3-2x在[-1，1]上有解，把a用x表示出来，转化为求函数 y=2x2-13-2x在[-1，1]上的值域，再用分离常数法求函数 y=2x2-13-2x在[-1，1]的值域即可．
解：a=0时，不符合题意，所以a≠0，
又∴f（x）=2ax2+2x-3-a=0在[-1，1]上有解，⇔（2x2-1）a=3-2x在[-1，1]上有解⇔1a=2x2-13-2x
在[-1，1]上有解，问题转化为求函数 y=2x2-13-2x[-1，1]上的值域；
设t=3-2x，x∈[-1，1]，则2x=3-t，t∈[1，5]， y=12•(t-3)2-2t=12(t+7t-6)，
设 g(t)=t+7t．g′(t)=t2-7t2， t∈[1，7)时，g'（t）＜0，此函数g（t）单调递减，
t∈(7，5]时，g'（t）＞0，此函数g（t）单调递增，
∴y的取值范围是 [7-3，1]，
∴f（x）=2ax2+2x-3-a=0在[-1，1]上有解ó 1a∈ [7-3，1]⇔a≥1或 a≤-3+72．
故a≥1或a≤- 3+72．