Question

初二数学题目 高分悬赏 RT△ABC中，∩A=90°，AB=AC。点P是BC的中点。

RT△ABC中，∩A=90°，AB=AC。点P是BC的中点，M、N分别在AB\AC上。且PM⊥PN，连接MN
①若M是AB中点，判断三角形PMN的形状并说明理由
②若M是AB上任意一点，①的结论还成立么，为什么
③当BM=4，CN=2时，求三角形PMN的面积和PM的长度、
这是图

Answer 1

1、等腰直角三角形
证明：因为P,M分别是BC,AB的中点，所以PM∥AC且PM=1/2AC（三角形的中位线定理）
因为AC⊥AB所以PM⊥AB
又因为PM⊥PN所以四边形AMPN为矩形
所以PN=AM,PM=AN
因为M是AB的中点，所以AM=1/2AB=1/2AC=AN
所以PN= PM且PM⊥PN
即三角形PMN是等腰直角三角形
2.成立。
因为P是等腰直角三角形斜边BC的中点，所以AP⊥BC且AP=BP=PC且AP平分直角CAB（等腰三角形顶角角分线的性质定理）
然后证明三角形APM≌三角形CPN（角C=角PAB=45°,PC=PA,角CPN=角APM（因为角CPN+角APN=角APM+角APN=90°））
3.由三角形APM≌三角形CPN知AM=CN=2，因为AB=AC所以BM=AN=4，所以在Rt△AMN中，MN^2=(4^2+2^2 )=20=PN^2+PM^2=2PM^2,所以PM=√10,△PMN的面积=1/2PM^2=5

Answer 2

一÷三角形PMN为等腰直角三角形
证明：∵PM⊥PN
∴∠MPN=90度
∵Rt三角形ABC,∠A＝90度，P为BC中点
∴MP∥AC,BP=CP
∴∠PNA=180度-∠MPN＝90度
∴∠CPN=45度
∵Rt三角形ABC,∠A＝90度，AB=AC
∴∠B＝∠C＝45度
在三角形BPM和三角形CPN中
∠BPM=∠CPN
BP=CP
∠C=∠B
∴三角形BPM全等于三角形CPN（ASA)
∴MP=NP
∴三角形PMN为等腰直角三角形
二。成立
证明：连接AP
∵Rt三角形ABC,，∠A=90度，AB=AC,P为BC中点
∴AP为∠BAC平分线，PC=PB;AP⊥BC
∴∠PAC=1/.2∠BAC＝45度
∠BPA=90度
∴∠PAC=∠C=∠B
∴PC=PA
又∴PC=PB
∴PA=PB
∵∠BPA=90度
∴∠BPM+∠APM=∠APN+∠APM
即:∠BPM=∠APN
在三角形BPM和三角形APN中
∠BPM=∠APN
BP=AP
∠B=∠PAC
∴三角形BPM全等于三角形CPN（ASA)
∴MP=NP
∴三角形PMN为等腰直角三角形
三.
三角形PMN面积为5，PM＝根号5

Answer 3

提示一下
（1）△PMN是等腰直角三角形
连接AP证明△APM≌△CPN即可（ASA）
（2）成立，证明同上
（3）PM=√10
BM=AN，AM=CN
所以MN=2√5
所以MN=√10