Question

对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数。

对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数。
①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0 ②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立已知函数g(x)=log2(x+1)与h(x)=2^x-b是定义在[0,1]上的函数
（1）试问函数g(x)是否为G函数
（2）若函数h(x)是G函数，求实数b组成的集合

Answer 1

（1）g(x)>=0这个很明显吧，不说了。关键是证明不等式：
g(x1 + x2) = log 2(x1 + x2 + 1),
g(x1) + g(x2) = log 2(x1 + 1) + log 2(x2 + 1) = log [4(x1+1)(x2+1)] ，
由于2(x1 + x2 + 1) - 4(x1+1)(x2+1)
= 2x1 + 2x2 + 2 - 4x1x2 - 4x1 - 4x2 - 4
= -4x1x2 - 2x1 - 2x2 -2 ，由于x都是正的，所以这个式子肯定小于0，从而
2(x1 + x2 + 1) < 4(x1+1)(x2+1), g(x1 + x2) < g(x1) + g(x2)，g函数不是G函数；
（2）你说的是h(x) = 2^x - b，b在指数外面吧？
首先必须满足非负性：当x属于[0,1]，h(x)必须是正的，因此只要最小值非负就可以了，h在这段的最小值是h(0) = 1-b>=0，所以b<=1；
其次满足不等式：代入x1,x2后得到：
2^(x1 + x2) >= 2^(x1) + 2^(x2) - b
令t1 = 2^(x1), t2 = 2^(x2)，则t1, t2的范围是[1, 2]，上述不等式可以表达为：
t1*t2 >= t1 + t2 - b >= 2sqrt(t1*t2) - b，
最后一个不等式是重要不等式。所以，如果令u = sqrt(t1*t2)，那么b必须满足（不等式第一项>=第三项）：
u^2 >= 2u - b，对任何u属于[1,2]成立，因此b >= 2u - u^2，也就是说要让函数h是G函数，
b必须大于等于二次函数2u-u^2的最大值（因为f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)这个不等式是要求对任意x1,x2都得成立的）。最大值正好在u=1取，所以b >= 1。
刚才利用第一个条件求得b >= 1，所以b只可能为1。验证下发现，此时：
h(x1 + x2) - h(x1) - h(x2) = [2^(x1) -1][2^(x2) - 1] >=0，满足G函数的条件。
所以最终的答案是b=1。

Answer 2

(1)g(x)是定义域上的增函数，故g(x)≥g(0)=log2(0+1)=0,即g(x)≥0,满足条件①；
设x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，有g(x1+x2)≥g(x1)+g(x2)
即log2(x1+x2+1)≥log2(x1+1)+log2(x2+1)=log2(x1+1)(x2+1)
即x1+x2+1≥(x1+1)(x2+1)，整理得x1x2≤0,这与x1x2≥0相矛盾，故不满足条件②
故g(x)不是G函数
(2)显然h(x)是定义域上的增函数，故h(x)≥h(0)=1-b≥0,解得b≤1
设h(x1+x2)≥h(x1)+h(x2)
即2^(x1+x2)-b≥2^x1-b+2^x2-b,即2^(x1+x2)≥2^x1+2^x2-b
即2^(x1+x2)-2^x1+2^x2+1≥1-b,即（2^x1-1）(2^x2-1)≥1-b
上式对一切x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1都成立，易知（2^x1-1）(2^x2-1)在此条件下的最小值为0
所以1-b≤0，解得b≥1
综上b=1