Question

f(x)=2/3x^2 （x<=1） f(x)= x^2 （x>1） ，用定义求此函数的左右导数，麻烦列出详细过程，主要是右导数

f(x)=2/3（x^2）
主要是不知道如何用定义求右导数

Answer 1

解：左导数不说了，你会求；
右导数
= lim (x从>1处趋近于1) [f(x) - f(1)] / (x-1)
= lim (x从>1处趋近于1) [x^2 - 2/3] / (x-1)
= lim (x从>1处趋近于1) [x^2 - 1 + 1/3] / (x-1)
= lim (x从>1处趋近于1) (x^2 - 1)/(x-1) + 1/3 lim (x从>1处趋近于1) 1/(x-1)
第二个函数极限不存在（第一个极限为2），为正无穷大，所以函数在x=1的右导数不存在。

代入导数表达式的时候一定注意：f(x)的表达式一定是>1的这段，因为右导数的定义就是当x从1的右边趋于1时斜率的极限，但是f(1)要代入<1这段，因为f(1)的数值是在这段定义的。

楼上的解法是不对的，不能够先在x>1这段求导然后代入x = 1，这么做必须先保证f'(x)在1这点右连续才行。楼上求的右导数实际上是连接(x, f(x))与(1,1)的直线的斜率的极限，但这不是导数的定义。因为1不等于f(1)。 你用定义求完导就能看到，f'(x)确实在x=1不是右连续的。

Answer 2

f(x)=2x²/3 x<=1 (1)
f(x)=x² x>1 (2)
本题的题意是求：f(x)在x=1点的左右导数：
导数的定义：f ’(x) = lim(△x->0) [f(x+△x)-f(x)]/△x
本题中，求左导数时，x 从小于1处趋于1（即从1的左边趋于1：1ˉ），
因此采用 (1)函数不等式：f(x)=2x²/3 x<=1
左导数：lim(△x->0) 2/3[(x+△x)²-x²]/△x=lim(△x->0) 2/3[x²+2x△x+(△x)²-x²]/△x=
= lim(△x->0) 2/3 (2x+△x)△x/△x=4x/3
左导数 = f '(1ˉ)=4/3；
右导数：采用(2)函数不等式：f(x)=x² x>1 其求法和上面没区别，只是用（2）代入，
实际上f '(x)=2x //: 或者用：lim(x->1+) (x² -1)/(x-1)=lim(x->1+) (x+1)=2
即右导数：f ’(1+)=2
可见： 左右导数不相等。