Question

已知函数f(x)=sin(ωx+φ),(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图像关于点M(3π/4,0)对称，且在

区间[0,π/2]上是单调函数,求φ和ω的值

Answer 1

已知函数f(x)=sin(ωx+φ),(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图像关于点M(3π/4，0)对称，且在区间
[0,π/2]上是单调函数,求φ和ω的值
解：φ=π/2，此时f(x)=sin(ωx+π/2)=cosωx是偶函数；其图像关于点M(3π/4，0)对称，且在区间
[0，π/2]上是单调函数，因此必有f(3π/4)=cos(3πω/4)=0，即有3πω/4=π/2，故ω=2/3，此时
f(x)=cos[(2/3)x]，其最小正周期为3π，在[0，3π/2](半个周期)上单调减，那当然在[0，3π/4]
(1/4个周期)上也单调减；或取ω=2，此时f(x)=cos2x，其最小正周期=π，f(3π/4)=cos(3π/2)=0，且在[0，π/2]上单调减。两个答案应该都可以。

Answer 2

f(x)为偶函数,则φ=π/2(因为y=cosx为偶数,则取φ为π/2时利用诱导公式可以把正弦函数化为余弦函数)
关于(3π/4,0)对称,即为:当x=3π/4时,函数值为0
cos(3ωπ/4)=0
可以取:ω=(4k+2)/3 (k为整数)
因为[0,π/2]单调,则要求,周期>=π
2π/ω>=π,即ω<=2
取k=0,ω=2/3,f(x)=cos(2x/3)
取k=1,ω=2,f(x)=cos2x

Answer 3

∵f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，
∴φ=π/2或3π/2
∵函数关于点M(3/4π,0)对称，
∴(3/4)πω+π/2=kπ，解得：ω=(3/4)k-3/8；或者(3/4)πω+3π/2=kπ，解得：ω=(3/4)k-2.
∵ω>0，∴(3/4)k-1/2>0，解得：k>2/3；或者(3/4)k-2>0，解得：k>8/3
∵k∈Z，∴取k=1或者k=3，∴ω=1/4
∴f(x)=sin(x/4+π/2)或者f(x)=sin(x/4+3π/2).

Answer 4

解：由f（x）是偶函数，得f（-x）=f（x），
即sin（-ωx+∅）=sin（ωx+∅），
所以-cos∅sinωx=cos∅sinωx，
对任意x都成立，且w＞0，
所以得cos∅=0．
依题设0＜∅＜π，所以解得∅=
π
2
，
由f（x）的图象关于点M对称，
得f(
3π
4
-x)=-f(
3π
4
+x)，
取x=0，得f（
3π
4
）=sin（
3ωπ
4
+
π
2
）=cos
3ωπ
4
，
∴f（
3π
4
）=sin（
3ωπ
4
+
π
2
）=cos
3ωπ
4
，
∴cos
3ωπ
4
=0，又w＞0，
得
3ωπ
4
=
π
2
+kπ，k=1，2，3，
∴ω=
2
3
（2k+1），k=0，1，2，
当k=0时，ω=
2
3
，f（x）=sin（
2
3
x+
π
2
）在[0，
π
2
]上是减函数，满足题意；
当k=1时，ω=2，f（x）=sin（2x+
π
2
）在[0，
π
2
]上是减函数；
当k=2时，ω=
10
3
，f（x）=（
10
3
x+
π
2
）在[0，
π
2
]上不是单调函数；
所以，综合得ω=
2
3 或2．

Answer 5

答案 http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/912d3112-e8ad-4ac0-b716-105bbb664ccd