Question

如图，已知抛物线y=-4/9x的平方+bx+c与x轴相交于A,B两点，其对称轴为直线x=2，且与x轴相交于点D，AO=1

（1）填空：b=___.c=____,点B的坐标为（__,__）:
（2）若线段BC的垂直平分线EF交AB于点E，交X轴于点F，求FC的长
（2）探究：在抛物线的对称轴上是否存在点p，使圆心p于X轴，直线BC都相切？若存在，请求出P坐标，不存在，请说理由。

Answer 1

解
1）对称轴为 x=2 所以 9/8*b=2 b=16/9
又 AO=1 所以 A点坐标为（-1.0），该点在抛物线上 代入 得 -4/9-16/9+c=0 c=20/9
所以 y=-4/9x^2+16/9x+20/9 y=-4/9(x-5)(x+1) 得 B点坐标（5.0）

2) c点坐标（2.4）利用对称轴定理 可得。但是E为BC重点。所以 E（7/2，2）
所以经过BC的直线方向系数 为-4/3
由于经过FE的直线与BC垂直。所以 FE的方向系数为3/4
直线EF直线方程为 y=3/4(x-7/2)+2 所以F的坐标 （5/6.0）
所以FC=BF=5-5/6=25/6

3）存在
p(2.5/2)

Answer 2

解：因为对称轴为2 即-b/2a=2 -b/2*(-4/9)=2 b=16/9 又因为y=-4/9x的平方+bx+c与x轴相交于A,B两点 且AO=1 根据二次函数的对称性 那么DA=DB=3 故点B的坐标为（5,0）将B点坐标代入解析式，求得C=20/9
4ac-b^2/4a=4*(-4/9)*20/9-(16/9)^2/4*(-4/9)=4 C(2,4)
将c,b点坐标代入，BC解得k=-4/3,6=20/3 BC=-4/3x+20/3
又因为EF为BC的垂直平分线，直线EF的k=3/4，所以E点的坐标为（7/2,2）
EF=3/4x+b 将E点坐标代入，EF=3/4X-5/8 求得F(5/6，0) CF=BF=5-5/6=25/6
（3）存在做角CBF的垂直平分线，交对称轴于点p，（2,3/2）
'理由如下：设P（2，y）过P做PG垂直于BC于G PG=PD=y 则三角形CPG相似于三角形CBD
PG/BD=PC/BC即 y/3=（4-y）/5 y=1.5 ;;;

Answer 3

解：因为对称轴为2 即-b/2a=2 -b/2*(-4/9)=2 b=16/9 又因为y=-4/9x的平方+bx+c与x轴相交于A,B两点 且AO=1 根据二次函数的对称性 那么DA=DB=3 故点B的坐标为（5,0）将B点坐标代入解析式，求得C=20/9

（2）4ac-b^2/4a=4*(-4/9)*20/9-(16/9)^2/4*(-4/9)=4 C(2,4)
将c,b点坐标代入，BC解得k=-4/3,6=20/3 BC=-4/3x+20/3
又因为EF为BC的垂直平分线，直线EF的k=3/4，所以E点的坐标为（7/2,2）
EF=3/4x+b 将E点坐标代入，EF=3/4X-5/8 求得F(5/6，0) CF=BF=5-5/6=25/6
（3）存在做角CBF的垂直平分线，交对称轴于点p（2,3/2）
'理由如下：设P（2，y）过P做PG垂直于BC于G PG=PD=y 则三角形CPG相似于三角形CBD
PG/BD=PC/BC即 y/3=（4-y）/5 y=1.5

Answer 4

(2)若线段BC的垂直平分线EF交与点E，交X轴于点F，求FC的长