Question

设f(x)是定义在R上的偶函数，且f（x+3）=-f(x)，又当0＜x≤1时，f(x)=2x

1.求f(17.5)
2.当5＜x≤7时，f(x)的表达式。

Answer 1

1. f(x+3)=-f(x)=-f(-x)
f(-x+3)=-f(-x)
所以：f(x+3)=f(3-x)=f(x-3)
设：x-3=a
则：x=3+a
所以：f(3+a+3)=f(a)
即：f(a+6)=f(a)，f(x)=f(x+6)
所以：f(x+6)=f(x+6+6)=f(x+6*2)
f(x+6+6)=f(x+6+6+6)=f(x+6*3)
,,,,, ,,,,,
则：f(x)=f(x+6n) n为整数。
所以：f(17.5)=f(-0.5+6*3) (0＜x≤1时，f(x)=2x)
=f(-0.5)=f(0.5)=2*0.5=1
2.5＜x≤7时，
因为：0＜x≤1
则：5＜x+5≤1+5 6＜x+6≤1+6
f(x+5)=2*(x+5) f(x+6)=2*(x+6)
所以：f(x)=2*x+10 f(x)=2*x+12

学习进步，快乐成长。。。

Answer 2

(1) 因为f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=f((x+3)+3)=-f(x+3)=-(-f(x))=f(x)
所以 f(x) 是周期为 6 的周期函数.
f(17.5)=f(17.5-6-6-6)=f(-0.5)=f(0.5)=1
(2) 当6<x≤7时
则：0＜x-6≤1 f(x)= f(x-6)=2(x-6)=2x-12
当5<x≤6 时 则：-1＜x-6≤0 f(x)= f(x-6)=2(x+6)=2x+12

所以：f(x)=2*x+10 f(x)=2*x+12