Question

已知F1和F2是椭圆的两个焦点

已知F1和F2是椭圆的两个焦点,满足向量MF1乘以向量MF2等于0的点M总在椭圆内部，则该椭圆的离心率的取值范围是什么？
A （0，1） B （0，1/2）
C （0，二分之根二） D （二分之根二，1）
请说明原因 拜谢

Answer 1

分析：由MF1→•MF2→=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴c＜b，c^2＜b^2=a^2-c^2．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．

解答：解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，
∵MF1→•MF2→=0，
∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．
又M点总在椭圆内部，
∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2-c2．
∴e^2=c^2/a^2＜1/2，∴0＜e＜二分之根二．
故选C．

Answer 2

向量MF1乘以向量MF2等于0,则点M在以原点为圆心，c为半径的圆上，又点M总在椭圆内部，所以b>c,b^2>c^2,a^2-c^2>c^2,a^2>2c^2,0<e<根2/2,故选C