Question

已知函数f(x)=（x-1）／（x+a）+ln(x+1)

已知函数f(x)=（x-1）／（x+a） +ln(x+1)，其中实数a不等于－1
求⑴a=－2，求曲线y=f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程
⑵若f(x)在x=1处取得极值，试讨论f(x)单调性

Answer 1

已知函数f(x)=（x-1）／（x+a） +ln(x+1)，其中实数a不等于－1
求⑴a=－2，求曲线y=f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程
⑵若f(x)在x=1处取得极值，试讨论f(x)单调性
解：(1), 当a=-2时，f(x)=(x-1)/(x-2)+ln(x+1)
f′(x)=[(x-2)-(x-1)]/(x-2)²+1/(x+1)=-1/(x-2)²+1/(x+1)
故f′(0)=-1/4+1=3/4，f(0)=1/2，于是得过(0，1/2）的切线方程为y=(3/4)x+1/2.
(2).f(x)=(x-1)/(x-a)+ln(x+1)，令f′(x)=[(x-a)-(x-1)]/(x-a)²+1/(x+1)=(1-a)/(x-a)²+1/(x+1)=0
因为f(x)灾区x=1处取得极值，故有f′(1)=(1-a)/(1-a)²+1/2=1/(1-a)+1/2=0，∴a=3.
此时f(x)=(x-1)/(x+3)+ln(x+1)，
f′(x)=-2/(x-3)²+1/(x+1)=[-2(x+1)+(x-3)²]/(x-3)²(x+1)=(x-1)(x-7)/(x-3)²(x+1)
当x<-1或1<x<7时f′(x)<0，即在区间(-∞，-1)∪(1，7)内f(x)单调减；
当-1<x<1或7<x<+∞时f′(x)>0；即在区间(-1，1)∪(7，+∞)内f(x)单调增。

Answer 2

函数的定义域为x＞-1，故楼主的答案要舍掉一部分

Answer 3

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