Question

已知函数f(x)=(kx+1)/(x2+c) (c>0且c不等于1,k属于R) 恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x=-c

如题（1）求函数f（x）的另一个极值点
（2）求函数的极大值M和极小值m，并求 M-m≥1 时 k的取值范围
最好今天就能解决！先谢过各位啦~~

Answer 1

f’(x)=[k(x2+c)-2x (kx+1)]/( x2+c)2
令f’(x)=0
得到 kx2+2x-kc=0 △=4+4ck2>0且k≠0 (因为有两个极点)
由于已知一个极点为 x=-c 故将上式分解因式为
k(x+c)(x-1)=0 得到另一个极点为x=1,k=2/(c-1)

f(1)=(1+k)/(1+c)
f(-c)= (1-kc)/[c(1+c)]
1）当c>1时 k>0
x=-c是极小值点
x=1是极大值点
M-m= f(1)- f(-c)=(2kc+c-1)/ [c(1+c)] ≥1
化简有 k≥(c2+1)/2c ≥1
综上有 k≥(c2+1)/2c

2）当0<c<1时 k<0
x=-c是极大值点
x=1是极小值点
M-m= f(-c)- f(1)=(-2kc-c+1)/ [c(1+c)] ≥1
化简有 k≤-(c+1)2+2/2c
综上有
当0<c≤2^(1/2)-1 时 k<0
当 2^(1/2)-1<c<1时 k≤-(c+1)2+2/2c