Question

设函数f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>0).(1)当a=1时，求f(x)单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为1/2，求a

求一下第（2）题

Answer 1

解：函数的定义域为：(0，2)
(1) 当a=1时，则：
f(x)=ln(-x²+2x)+x
令：φ(x)=(-x²+2x)；g(x)=x
则：φ(x) 在 (0，1] 上单调递增，在 [1，2) 上单调递减；g(x) 在(0，2) 上单调递增。
综上：f(x) 在(0，1] 上单调递增，在 [1，2) 上单调递减。
(2) ∵ f(x) 在(0，1] 上单调递增
∴ f(1)=ln1+ln1+a = ½
解得：a=1/2

Answer 2

（1）∵x>0,2-x>0,
∴x属于(0,2)
f'(x)=1/x+1/(x-2)+1=x^2-2
令f'(x)=0
解得x=√2或-√2
∴(0，√2）递减(f'(x)<0)
(√2，2）递增。
（2）f(x)=lnx+ln(2-x)+ax
=lnx(2-x)+ax
=ln[1+(2x-x^2-1)]+ax
=ln[1-(x-1)^2]+ax
显然，f(x)在定义域内为增函数
所以，当x=1时，f(x)取最大值1/2
所以 f(x)=ln1+ln(2-1)+a =1/2
a=1/2