Question

设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1过点(0,4),离心率为3/5

①求C的方程,
②设P是椭圆C上的动点，点D是P在X轴上投影，M为PD中点，点P在椭圆上运动时，求点M的轨迹Q的方程，
③求过点(3,0）且斜率为4/5的直线被C所截线段的中点坐标

Answer 1

第一个问题：
∵（0，4）在椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2＝1上，∴16/b^2＝1，∴b^2＝16。
又e＝c/a＝√（a^2－b^2）/a＝3/5，∴25（a^2－b^2）＝9a^2，∴25a^2－9a^2＝25b^2，
∴16a^2＝25×16，∴a^2＝25。
∴满足条件的椭圆C的方程是：x^2/25＋y^2/16＝1。

第二个问题：
令点M的坐标为（x，y）。
∵D是P在x轴上的投影，而M是PD的中点，∴D是M在x轴上的投影，∴D的坐标为（x，0）。
设P的坐标为（m，n），则：（m＋x）/2＝x、（n＋0）/2＝y，∴m＝x、n＝2y。
∵P（x，2y）在椭圆x^2/25＋y^2/16＝1上，∴x^2/25＋4y^2/16＝1，∴x^2/25＋y^2/4＝1。
∴点M的轨迹Q的方程是：x^2/25＋y^2/4＝1。

第三个问题：
过点（3，0）且斜率为4/5的直线方程为：y＝（4/5）（x－3）＝4x/5－12/5。
联立：y＝4x/5－12/5、x^2/25＋y^2/16＝1，消去y，得：x^2/25＋（4x/5－12/5）^2/4＝1，
∴x^2/25＋4x^2/25－24x/25＋36/25＝1，∴5x^2－24x＋11＝0。

令直线y＝4x/5－12/5被椭圆C所截线段为AB，则可分别令A、B的坐标为：
A（p，4p/5－12/5）、B（q，4q/5－12/5）。
显然，p、q是方程5x^2－24x＋11＝0的根，∴由韦达定理，有：p＋q＝24/5，
∴（p＋q）/2＝12/5，
∴［（4p/5－12/5）＋（4q/5－12/5）］/2＝（4/5）（p＋q）－12/5＝96/25－60/25＝36/25。
∴满足条件的线段中点的坐标是（12/5，36/25）。