Question

求解微分方程x(dy/dx)^2-2(dy/dx)+4x=0，在线等！

Answer 1

(dy/dx)^2-2/x*(dy/dx)+4=0
(dy/dx-1/x)^2=1/x^2-4
dy/dx=1/x+根号(1-4x^2)/x 或 dy/dx=1/x-根号(1-4x^2)/x
①dy/dx=1/x+根号(1-4x^2)/x
y=ln|x|+∫根号(1-4x^2)/xdx
令x=1/2*sint dx=1/2*cost
y=ln|x|+∫csct-sintdt
=ln|x|+In|csct-cott|+cost+C
=ln|x|+ln|cscarcsin2x-cotarcsin2x|+cosarcsin2x+C
=ln|[1-根号(1-4x^2)]/2|+根号(1-4x^2)+C

②dy/dx=1/x-根号(1-4x^2)/x
y=ln|x|-∫根号(1-4x^2)/xdx
令x=1/2*sint dx=1/2*cost
y=ln|x|-∫csct-sintdt
=ln|x|-In|csct-cott|-cost+C
=ln|x|-ln|cscarcsin2x-cotarcsin2x|-cosarcsin2x+C
=ln|[1+根号(1-4x^2)]/2|-根号(1-4x^2)+C

Answer 2

x(y')² - 2y' + 4x = 0
y' = [2 ± √[4 - 4(x)(4x)]/2
= [2 ± 2√(1 - 4x²)]/(2x)
y' = [1 + √(1 - 4x²)]/x 或 [1 - √(1 - 4x²)]/x
第一个：
y = ∫ [1 + √(1 - 4x²)]/x dx
= ∫ [1/x + √(1 - 4x²)/x] dx
= lnx + √(1 - 4x²) - ln[1 + √(1 - 4x²)] + lnx + C₁
= √(1 - 4x²) - ln[1 + √(1 - 4x²)] + 2lnx + C₁
第二个：
y = ∫ [1 - √(1 - 4x²)/x] dx
= ∫ [1/x - √(1 - 4x²)/x] dx
= lnx - √(1 - 4x²) + ln[1 + √(1 - 4x²)] - lnx + C₂
= - √(1 - 4x²) + ln[1 + √(1 - 4x²)] + C₂
所以通解为
y = √(1 - 4x²) - ln[1 + √(1 - 4x²)] + 2lnx + C₁
y = - √(1 - 4x²) + ln[1 + √(1 - 4x²)] + C₂