Question

已知AB是圆O的直径,C是圆O上一点,角BAC的平分线交圆O于点D,交圆O的切线BE于点E，过点D作DF⊥AC，交AC的延

长线于点F（1）求证：DF是圆O的切线。（2)若DF=3，DE=2.求BE：AD的值，求图中阴影部分的面积。

Answer 1

证明：（1）连接OD

∵OA=OD，∴∠1=∠2

∵∠1=∠3，∴∠2=∠3

∴OD∥AF

∵DF⊥AF，∴OD⊥DF

∴DF是⊙O的切线

（2）①解：连接BD

∵直径AB

∴∠ADB=90°

∵圆O与BE相切

∴∠ABE=90°

∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°

∴∠DAB=∠DBE

∴∠DAB=∠FAD

∵∠AFD=∠BDE=90°

∴△BDE∽△AFD

∴BE/AD    =DE/DF=2/3

（2）②解：连接OC，交AD于G

由①，设BE=2x，则AD=3x

∵△BDE∽△ABE∴BE/AE=DE/BE
∴2x/3x+2=2/2x

解得：x1=2，

x2=-1/2（不合题意，舍去）

∴AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8

∴AB=根号AE²-BE²

=

根号8²-4²

=4倍根号3，∠1=30°

∴∠2=∠3=∠1=30°，∴∠COD=2∠3=60°

∴∠OGD=90°=∠AGC，∴AG=DG

∴△ACG≌△DOG，∴S△AGC=S△DGO

∴S阴影=S扇形COD=60/360π⋅OA²=1/6π×(2根号3)²=2π

Answer 2

证明：（1）连接OD
∵OA=OD，∴∠1=∠2
∵∠1=∠3，∴∠2=∠3
∴OD∥AF
∵DF⊥AF，∴OD⊥DF
∴DF是⊙O的切线
（2）①解：连接BD
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠BDE=90°
∵BE是⊙O的切线，∴∠ABE=90°
∴△BDE∽△ABE
∵∠1=∠3，∠ABE=∠F=90°
∴△ABE∽△AFD
∴△BDE∽△AFD
∴
（2）②解：连接OC，交AD于G
由①，设BE=2x，则AD=3x
∵△BDE∽△ABE∴
∴
解得：x1=2，（不合题意，舍去）
∴AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8
∴AB=，∠1=30°
∴∠2=∠3=∠1=30°，∴∠COD=2∠3=60°
∴∠OGD=90°=∠AGC，∴AG=DG
∴△ACG≌△DOG，∴S△AGC=S△DGO
∴S阴影=S扇形COD=

Answer 3

dfdd

Answer 4

fasfas

Answer 5

sgsgd