Question

画出函数f(x)=xe^-x图像(如何画函数图象)并解决下列问题 1.求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程;

2.求函数f（x）的单调区间；
3.方程x^2e^-x=0共有多少个根.
4.方程x^2e^-x-a=0仅有一个实根，则a的值为多少？

Answer 1

要画图像必须先求单调区间，然后取特值（无穷，0,1，-1,……）看大概值为多少，基本上可以吧大体图像画出来了！至于后面的问题，求导即可！第四问是求最值问题，还是需要求导！ f(x)=xe^-x的部分图形已经画出来了

Answer 2

f(x)定义域为R
1、f’(x)=e^-x-xe^-x=e^-x(1-x)
f’(0)=1 即点（0，f（0））处的切线斜率为1，又过原点，切线方程为y=x

2、仅当x=1时f’(x)=0 f(x)只有一个极值点，易知为极大值点。
x趋于正无穷时，xe^-x趋于0，图象逐渐向x轴靠拢。
x趋于负无穷时，xe^-x趋于负无穷，图象往下无限制。
因此，f(x) 在(-∞，1]递增，[1，+∞）递减。
f(0)=0 函数图象过原点。
由此可画出函数图象。

3、方程x^2e^-x=0只有一个根，即x=0

4、g(x)= x^2e^-x. g’(x)=x(2-x)e^-x g’(0)=0 g’(2)=0
可知g(x) 有2个极值点，易知x=0为极小值点。
又g(0)=0，即x=0 既是g(x)的零点，又是极小值点。
所以g(x)图象与直线y=a 当a>0时有两个交点，a=0时有一个交点，a<0时无交点。
因此x^2e^-x=a仅有一个实根，则a=0
就是x^2e^-x-a=0仅有一个实根，则a=0.