Question

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

Answer 1

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍）
证明：
方法1.
在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
方法2.
证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D. 连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R
类似可证其余两个等式。
方法3
记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0
则i（a+b+c）
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)
=-asinC+csinA=0
接着得到正弦定理

Answer 2

先画一个圆O，然后画一个内接三角形ABC
连接BO，延长BO，与圆O交于点D
连接CD
因为BC为公共弦，所以∠A=∠D
因为BO为半径，所以BD为直径
可以得到∠BCD=90°
所以a=BC=BD*sinD
其中BD=2R，sinD=sinA
所以a=2R*sinA
所以a/sinA=2R
其他同理~~~~

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