Question

已知椭圆C1中心在原点，焦点在x轴上，离心率为√2／2，且过点（√2，0）

已知椭圆C1中心在原点，焦点在x轴上，离心率为√2／2，且过点（√2，0），等轴双曲线C2的渐进线与直线l平行，直线l过双曲线的右焦点F，且与椭圆C1相交于A、B两点
求椭圆C1的标准方程
求三角形AOB面积的最大值及此时双曲线C2的方程

Answer 1

(1) 椭圆C1：a=√2 c =1 b=√(a^2-c^2) = 1 即C1的方程为： x^2/2+y^2 = 1
(2) 双曲线C2：a=b c=√(a^2+b^2) = √2*a 即C2的方程为：x^2-y^2 = a^2
其右焦点F2'（√2a,0）
设直线L：y=x-√2a 代入C1方程得：
x^2+2(x-√2a)^2=2
3x^2 -4a√2 x +4a^2-2=0
△ = -16a^2+48 ≥ 0 即 a^2 ≤ 3
x1+x2 = 4√2/3 * a x1x2= 2/3(2a^2-1)
|AB|=√2 * |x2-x1| = √[2(x2+x1)^2-8x2x1] = 4/3√(3-2a^2)
△AOB的高h=√2/2 * √2 a =a
S(AOB) = 1/2 |AB|*h = 2/3 √[(3-2a^2)*a^2]
∴当a^2 = 3/4 时 S（AOB）max = √2/2
此时：a = √3/2
∴C2的方程：x^2 - y^2 = 3/4