Question

已知椭圆中心在原点，焦点为F1(0,-2倍根号2).F2(0,2倍根号2)，且离心率e=3分之2倍根号2。

求直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为-1/2，求l倾斜角的取值范围。

Answer 1

因焦点在y轴，设椭圆方程为 y²/a²+x²/b²=1
∵ c=2√2，e=c/a=2√2/3，得a=c/e=3
∴ 椭圆方程为：y²/9+x²=1……①
设直线l方程：y=kx+m（k≠0)……②
②代入①得 (k²+9)x²+2kbx+b²-9=0
有 x1+x2=-2kb/(k²+9)=2*(-1/2)=-1，即 b=(k²+9)/2k……③
交于不同的两点，∴Δ=4k²b²-4(k²+9)(b²-9)＞0
即 k²-b²+9＞0……④
得 (k²-3)(k²+9)＞0，k²+9＞0，k²＞3
即 k∈(-∞，-√3)∪(√3，+∞﹚
∴ 直线l倾斜角的取值范围为：(π/3,π/2)∪(π/2，2π/3）

Answer 2

解： 因Y轴为椭圆的实轴，故设其方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1.
由e=(2/3)√2)=c/b=2√2/b ∴b=3.
a^2=b^2-c^2=3^2-(2√2)^2=9-8=1.
∴椭圆方程为：x^2/9+y^2=1 (1).
再设直线i的方程为：y=kx+m. 将其代入(1),
x^2/9+(kx+m)^2=1.
x^2+9(k^2x^2+2kmx+m^2=9.
( 9k^2+1)x^2+18kmx+9m^2-9=0.
由韦达定理得：x1+x2=-18km/(9k^2+1).
又因 x1,x2是直线l与椭圆的两个交点的横坐标，由题设知，x1+x2=-1.
故，18km=(9k^2+1).
9k^2-18km+1=0 (2) (这是k的二次方程式).
判别式△=(-18m)^2-4*9*1=0 (对于一台直线只有一个斜率，即该方程有等根，判别式=0).
18^2m^2-36=0.
m^2=1/9.
m=±1/3. 将m值代入方程(2)中，得：
9k^2-18k*(1/3)+1=0. (m=1/3)
9k^2-6k+1=0.
(3k-1)^2=0.
3k-1=0. k=1/3.
9k^2-18k(-1/3)+1=0.
9k^2+6k+1=0.
(3k+1)^2=0
3k+1=0, k=-1/3.
∴k∈[-13,1/3]
k=tanα=±1/3.
α∈[arctan(-1/3),arctan(1/3)].