Question

有一题初三数学题不会做 老师 同学 快来帮帮忙啊 我在线等

（2009•湖州）已知抛物线y=x2-2x+a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y=12x-a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N．
（1）试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标；
（2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；
（3）在抛物线y=x2-2x+a（a＜0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

解：（1）由y=x²-2x+a=(x-1)²+a-1可知
M的坐标为(1，a-1)
又因为抛物线y=x2-2x+a（a＜0）与y轴相交于点A，所以A的坐标为(0，a)
设直线AM：y=kx+a
当x=1时，y=a-1,即k+a=a-1
所以k=-1
所以直线AM：y= -x+a
则关于直线AM：y= -x+a和直线BC：y= 12x-a的交点N有
-x+a=12x-a
x=2a/13
y=-x+a=-2a/13+a=11a/13
所以N的坐标为(2a/13，11a/13)

（2）将△NAC沿y轴翻折，点N的对应点N′的坐标为：(-2a/13，11a/13)
若该点恰好落在抛物线上，则有
y=x²-2x+a
11a/13=(-2a/13)²+4a/13+a
2a²+39a=0
a(2a+39)=0
a1=0 a2= - 39/2
因为a＜0
所以a= - 39/2
所以N的坐标为(-3，-33/2)
另因为直线AM：y= -x+a，所以直线AN′：y= x+a 即：y= x- 39/2
所以D(39/2，0)
四边形ADCN中，AC=|2a|=39
N和D的横向距离为：39/2-(-3)=45/2
所以四边形ADCN的面积：1/2×39×45/2=1755/4=438.75

（3）分以下两种情况讨论：
第一种情况：若P在y轴左边时，（注：AC在y轴，PN平行y轴）
AC和PN对边
AC=PN= -2a （a＜0）
所以
P在N上时，(2a/13，-15a/13)
或P在N下时，(2a/13，37a/13)
在y=x²-2x+a（a＜0）中，当x=2a/13，y=-15a/13时，有-15a/13=4a²/169+9a/13
a= - 78
所以P的坐标为(-12，90)
在y=x²-2x+a（a＜0）中，当x=2a/13，y=37a/13时，有37a/13=4a²/169+9a/13
a= 91(与题意不符)

第二种情况：若P在y轴右边时，(注：P点坐标需满足直线AP、直线CP和抛物线)
AP和CN对边，此时，AP的斜率等于BC的斜率，
可知AP直线：y=12x+a

CP和AN对边，此时，CP的斜率等于AN的斜率，
可知CP直线：y=-x-a
可得：12x+a=-x-a
x=-2a/13
y=-x-a=-11a/13
在y=x²-2x+a（a＜0）中，当x=-2a/13，y=-11a/13时，有-11a/13=4a²/169+17a/13
a= -169
所以P的坐标为(26，143)
综上所述， 当a= - 78时，P的坐标为(-12，90)
当a= -169时，P的坐标为(26，143)

Answer 2

太烦了