Question

数学几何：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，在三角形内有一点O，且∠OBC=10°，∠OCA=20°，求证∠BAO=70

已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，在三角形内有一点O，且∠OBC=10°，∠OCA=20°，求证∠BAO=70°

Answer 1

证明：
以AB为边作等边⊿ABD，连接DC
则∠DAC=80º－60º=20º
∵AD=AB=AC
∴∠ADC=(180°－20°)/2=80°
∴∠BDC=80°＋60°=140°
∵AB=AC，∠BAC=80°
∴∠ABC=∠ACB=50º
∵∠OBC=10°，∠OCA=20°
∴∠OCB=30º，∠BOC=180º-10º-30º=140º
∴∠BOC=∠BDC
∵∠DBC=60°-50º=10°=∠OBC，BC=BC
∴⊿BOC≌⊿BDC（AAS）
∴DC=OC，∠OCD=2∠OCB=60°
∴⊿OCD为等边三角形，OD=OC
又∵AO=AO，AD=AC
∴⊿AOD≌⊿AOC（SSS）
∴∠OAC=（∠BAC-∠BAD）/2=10°
∠BAO=80°－10°=70°

Answer 2

用三角函数。据题意∠ABC=∠ACB=50°，
∠OBA=40°，∠OCB=30°，设∠OAC=x，
在△OBC中有OB/OC=sin30°/sin10°=1/(2sin10°)；
在△OBA中有OB/OA=sin(80°-x)/sin40°，
在△OAC中有OC/OA=sinx/sin20°，
∴OB/OC=sin(80°-x)sin20°/(sin40°sinx)=1/(2sin10°)，
式中sin(80°-x)=cos(10°+x)， sin40°=2sin20°cos20°，
方程化为cos(10°+x)/(2cos20°sinx)=1/(2sin10°)，
或2cos(10°+x)sin10°=2cos20°sinx，
积化和差得sin(20°+x)-sinx=sin(20°+x)-sin(20°-x)，
∴sinx=sin(20°-x)。
排除x和20°-x是互补关系，由x=20°-x得x=10°，
那么∠BAO=80°-10°=70°。