Question

二重积分的题目求解

求∫∫D（cosy/y）的二重积分，区域D是y=x和y²=x围成的区域。大神快来，真心求救→_→本人高数白痴一枚。

Answer 1

∫∫ cosy/y dσ
= ∫(0→1) ∫(y²→y) cosy/y dxdy，cosy/y对y的积分不可做，于是选择Y型区间，先对x积分。
= ∫(0→1) cosy/y • [y - y²] dy
= ∫(0→1) (cosy - ycosy) dy
= ∫(0→1) cosy dy - ∫(0→1) y d(siny)
= [sin(1) - sin(0)] - [(1)sin(1)] + ∫(0→1) siny dy
= sin(1) - sin(1) - [cos(1) - cos(0)]
= 1 - cos(1) ≈ 0.46

Answer 2

∫∫D（cosy/y）dxdy
=∫<0,1>dy∫<y²,y>（cosy/y）dx
=∫<0,1>（cosy/y）(y-y²)dy
=∫<0,1>（cosy-ycosy)dy
=∫<0,1>cosydy-∫<0,1>ycosydy
=siny|<0,1>- ∫<0,1>ydsiny
=sin1- [ysiny|<0,1>- ∫<0,1>sinydy]
=sin1- [sin1 + cosy|<0,1>]
=sin1- [sin1 + cos1-1]
=1-cos1