Question

已知a是实数，函数f(x)=x^2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最大值。

Answer 1

f(x)=x^2(x-a)=x^3-ax^2，
0≤x≤2。
当a=0时，f(x)在R上单增，f max=f(2)=8。
当0<a≤2时，0≤x≤a,f(x)≤0;a<x≤2, x^2和x-a在[0,2]都是增函数且都恒正，它们的积x^2(x-a)是增函数且恒正。f max=f(2)=8-4a。
当a>2时, 在[0,2]上x^2≥0和x-a<0都恒成立，它们的积x^2(x-a)≤0，f max=f(0)=0。
当a<0时, x^3和-ax^2在[0,2]都是增函数，它们的和x^3-ax^2是增函数。f max=f(2)=8-4a。
综上，
f(x)在区间[0,2]上的最大值
8-4a, 0<a≤2 或a<0;
g(a)={ 8, a=0;
0, a>2。
wxl48829566网友，我专门为此写了一篇blog，图文并茂。
http://hi.baidu.com/ok吧/blog/item/0ab6f4eb5f76bcccd539c9b8.html?timeStamp=1331012785352

Answer 2

f `(x)=3x^2-2ax=3x(x-2a/3)
(1)a≤0时; f `(x)≥0，f(x)在[0,2]上是增函数，F(x)的最大值=f(2)=4(2-a);
(2)a≥3时；在区间[0,2]上x≤2; 2a/3≥2,所以f `(x)≤0; f(x)在[0,2]上是减函数；
所以f(x)的最大值=f(0)=0;
(3)0<a<3时，f `(x)=3x(x-2a/3)
所以：(0,2a/3]上，f `(x)<0;(2a/3,2)上，f `(x)>0
即f(x)在：(0,2a/3]上是减函数，;(2a/3,2)上是增函数，
因为 f(0)=0,f(2)=4(2-a)
所以0<a<2时，f(0)>f(2),f(x)的最大值=f(0)=0;
2≤a＜3时，f(0)<f(2),f(x)的最大值=f(2)=4(2-a）;
综上可知：0<a<2或a≥3时，f(0)>f(2),f(x)的最大值=f(0)=0；
a≤0或2≤a＜3时，f(0)<f(2),f(x)的最大值=f(2)=4(2-a）;