Question

如图,抛物线经过A(-1,0)B(5,0)C(0,-5/2)三点(1)求抛物线的解析式.(2)在抛

物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标 (3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标，若不存在，请说明理由

Answer 1

(1)用交点式y=a(x-x1)(x-x2)得到y=a(x-4)(x-1)，再将(0,-2)代入y=a(x-4)(x-1)中，得到a=-1/2.即得抛物线方程y=-1/2(x-4)(x-1)
(2)存在点P，设P（x,y）此处y不等于0，（因为等于0时不能形成△APM）由已知可得在△OAC中，OA=4,OC=2,所以△APM∽△OAC，有两种情况：
1.当AM/OA=PM/OC,即(4-x)/4=y/2,再联立y=-1/2(x-4)(x-1) ，解得y=1,所以x=3,即P（3,1）;
2.当AM/OC=PM/OA,即得(4-x)/2=y/4,再联立y=-1/2(x-4)(x-1) ，解得x=4(舍去，因为代入y=0),x=5,代入得到对应的y=-2,即P（4，-2）