求一个级数的和函数
∑<x^(4n+1)>/4n+1其中n为1到正无穷。。然后求这个无穷级数的和函数。给出过程好么谢谢...
∑<x^(4n+1)>/4n+1 其中n为1到正无穷。。然后求这个无穷级数的和函数。给出过程好么谢谢
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设和函数为S(x),由于
S(x) = sum(n从1到无穷) x^(4n+1) / (4n+1),于是两边对x求导,得到:
S'(x) = sum (n从1到无穷) x^(4n)
= sum (n从1到无穷) (x^4)^n,
这就是等比求和的表达式了,于是
S'(x) = x^4 / (1 - x^4), |x| < 1,于是
(楼上算的是认为第一项是1,但其实不是啦,这里第一项n=1时为x^4)
S(x) = 不定积分 S'(x) dx
= 不定积分 x^4 / (1-x^4) dx
= 不定积分 [ (x^4-1) + 1 ] / (1-x^4) dx
= -x + 不定积分 1/(1-x^4) dx
= -x + 不定积分 1/ [ (1+x)(1-x)(1+x^2) ] dx,
不定积分是对有理分式积分,有分解的套路,分解的结果是:
1/ [ (1+x)(1-x)(1+x^2) ] = 1/(4(1-x)) + 1/(4(1+x)) + 1/[2(1+x^2)]
于是积出来就是
-1/4 * ln |1-x| + 1/4 * ln|1+x| + 1/2 * arctan(x),又由于刚才整个求和函数的过程是定义在
x属于(-1,1)上的(此时等比级数才收敛),于是绝对值符号可以去掉,这样
S(x) = -x + 1/4 * ln [(1+x)/(1-x)] + 1/2 * arctan(x) + C,
C是不定积分积出来的。现在要确定C,就直接代入x = 0即可,
显然S(0) = 0,于是C = 0,和函数就是:
S(x) = -x + 1/4 * ln [(1+x)/(1-x)] + 1/2 * arctan(x)
S(x) = sum(n从1到无穷) x^(4n+1) / (4n+1),于是两边对x求导,得到:
S'(x) = sum (n从1到无穷) x^(4n)
= sum (n从1到无穷) (x^4)^n,
这就是等比求和的表达式了,于是
S'(x) = x^4 / (1 - x^4), |x| < 1,于是
(楼上算的是认为第一项是1,但其实不是啦,这里第一项n=1时为x^4)
S(x) = 不定积分 S'(x) dx
= 不定积分 x^4 / (1-x^4) dx
= 不定积分 [ (x^4-1) + 1 ] / (1-x^4) dx
= -x + 不定积分 1/(1-x^4) dx
= -x + 不定积分 1/ [ (1+x)(1-x)(1+x^2) ] dx,
不定积分是对有理分式积分,有分解的套路,分解的结果是:
1/ [ (1+x)(1-x)(1+x^2) ] = 1/(4(1-x)) + 1/(4(1+x)) + 1/[2(1+x^2)]
于是积出来就是
-1/4 * ln |1-x| + 1/4 * ln|1+x| + 1/2 * arctan(x),又由于刚才整个求和函数的过程是定义在
x属于(-1,1)上的(此时等比级数才收敛),于是绝对值符号可以去掉,这样
S(x) = -x + 1/4 * ln [(1+x)/(1-x)] + 1/2 * arctan(x) + C,
C是不定积分积出来的。现在要确定C,就直接代入x = 0即可,
显然S(0) = 0,于是C = 0,和函数就是:
S(x) = -x + 1/4 * ln [(1+x)/(1-x)] + 1/2 * arctan(x)
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=∑∫x^(4n)dx=∫[1/(1-x^4)-1]dx=∫[1/4(1-x)+1/4(1+x)+1/2(1+x^2)]dx=(1/4)ln|(1+x)/(1-x)|+(1/2)arctanx
追问
∑∫x^(4n)dx是怎样得到等于∫[1/(1-x^4)-1]dx的呢?
追答
他的是错的,你到采用他的!
∑∫x^(4n)dx是怎样得到等于∫[1/(1-x^4)-1]dx的呢?
∑∫x^(4n)dx=∫[1/(1-x^4)-1]dx是因为等比数列。
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