Question

如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC是等腰三角形，角BAC等于90度，A（1，0）B（0,2），

抛物线y=1/2X2+bX-2经过点C
(1)求抛物线解析式
(2)平移抛物线对称轴直线L到何处时，直线L能平分三角形ABC的面积
（3）点P是抛物线上的一动点。是否存在使四边形PACB为平行四边形的点P，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由

Answer 1

解：
经过A、B的直线解析式y=kx+b，
分别代入A和B点坐标值，求得b=2，k=-2
y= - 2x+2，
经过AC的直线为y= -(1/k)x+b1=x/2+b1
代入A点坐标，0=1/2+b1，求得b1= - 1/2，AC直线为y=x/2 - 1/2
因为三角形ABC是等腰三角形，且角BAC等于90度，
所以AB=ACAB=√5
设C点坐标为（xc，yc）AC²=（xc-1）²+yc²=5，
则（xc-1）²+（xc/2 - 1/2）²=54（xc-1）²+（xc - 1）²=204xc²-8xc+4+xc²-2xc+1=205xc²-10xc+5=20xc²-2xc+1=4（xc-1）²=4
由yc=xc/2 - 1/2，
当xc=3时，yc=1
当xc=-1时，yc=-1
C点坐标为（3,1）或者（-1，-1）
将可能的C点坐标分别代入抛物线解析式y=1/2x²+bx-2，
有1=9/2+3b-2，1=3/2+b，解得b=-1/2
-1=1/2-b-2，1=1/2-b，解得b=-1/2
抛物线解析式为y=1/2x²-x/2-2

Answer 2

y=1/2x²-x/2-2