Question

复变函数例题 求详细解释 计算积分

画红框部分是怎么得来的？
请详细解释要每一步的对到过程！！

Answer 1

分析：红框就是把 sin(x), cos(x), dx代入即可。由于x肯定是在 [0,2π]，所以当你设了
z = cos(x) + isin(x)后，就表示z一定是在单位圆上的复数啊，
|z| = sqrt (cos^2 + sin^2) = 1么。从定积分变到曲线积分了是因为 此时积分的区间不是 [0,2π]这个线段，而是 |z| = 1这个单位圆的圆周，所以就是曲线积分了。
积分号下：
sin^2(x) = (z - 1/z)^2 / (-4) = - (z^2 + 1/z^2 - 2)/4 = - (z^2 - 1)^2 / (4z^2)，
5 + 3cos(x) = 5 + 3(z + 1/z)/2，所以
第一个等式 = 曲线积分 - (z^2 - 1)^2 / (4z^2) / [ 5 + 3(z + 1/z)/2 ] * 1/(iz) dz
= - 曲线积分 (z^2 - 1)^2 / [(6z^3 + 20z^2 + 6z)(iz)] dz （这是做了分子分母同乘以4z^2）
= 曲线积分 i(z^2 - 1)^2 / [(3z^2 + 10z + 3)(2z^2)] dz，
（分母提公因式2z出来，1/i = -i，负号消掉）
第二个等号就是把 i/6 提出去，于是分母 现在变成：
z^3 + 10/3 z^2 + 1，分解因式就完了。

追问

谢谢 能加你Q吗？

追答

加Q还是算了吧，我只是解答下问题而已，再说复变函数都学好久忘得差不多了，解你这个我还去翻维基百科找定义。