Question

高等代数，请教请教…

Answer 1

（1）以an为其各行构造一个矩阵A=[a1；a2；a3；……；an]'，
做行初等变换：从上到下，从每一行中减去其下面一行，再交换各行的顺序，得到一个n*n的单位矩阵。说明A和In行等价，说明A和In有相同的行空间，并且A的各行线性无关，所以A的各行构成Rn的一组基
（2）第二问题目给的所有a用b打出来以示区别（其实前一问是“αn”而不是“an”，两者印刷体太像容易造成误会）：
设其坐标向量为x=（x1,x2,……,xn），则有x*A=b（一个n维行向量左乘第一问设的A，式子的含义是x1*a1+x2*a2+……+xn*an=b），
所以x=b*inv(A);
再用高斯若尔当消元法求A的逆就行了

Answer 2

1 只需证明α1，α2，...，αn线性无关即可
设a1α1+a2α2+...+anαn=0
则(a1+a2+...+an，a1+a2+...+a(n-1)，...，a1+a2，a1)=0
即a1+a2+...+an=a1+a2+...+a(n-1)=...=a1+a2=a1=0
由此解得an=a(n-1)=...=a2=a1=0，∴α1，α2，...，αn线性无关
2 设α=x1α1+x2α2+...+xnαn
则a1=x1+x2+...+xn，a2=x1+x2+...+x(n-1)，...，a(n-1)=x1+x2，an=x1
∴可解得x1=an，x2=a(n-1)-an，...xk=a(n+1-k)-a(n+2-k)，...，xn=a1-a2
∴α在此基下的坐标为(an，a(n-1)-an，...，a2-a3，a1-a2)