Question

高三数学 关于解析几何和数列

Answer 1

解析：这题关键是要求出递推公式，知道边长an是个等差数列。
现在我们假设已经有了第n-1个正三角形，且设Pn-1点的坐标是 (x(n-1), sqrt(x(n-1)))，Pn点的坐标是 (x(n), sqrt(x(n)))，由于该三角形的边长是a(n-1)，所以高，也就是点Pn-1的纵坐标，是
sqrt (3)/2 * a(n-1) = sqrt (x(n-1))，（1）
同理，上式取n的时候也成立：
sqrt (3)/2 * a(n) = sqrt (x(n))， （2）
另外，正三角形的边Q(n-1)P(n)的长度也是a(n)，由于Q(n-1)的坐标是：
(x(n-1) + a(n-1)/2, 0)，所以有
[a(n)]^2 = [x(n-1) + a(n-1)/2 - x(n)]^2 + x(n)， （3）
以上三个式子足够你消去 x(n)与x(n-1) （先对(1),(2)两边平方，平方后一减，然后直接整体代入（3）即可），得到递推公式了：
a(n) - a(n-1) = 2/3.
a(1)的话，设P1(x, sqrt(x)), 则Q1(2x, 0)，还是代入（2），有：
sqrt (3)/2 * a(1) = sqrt (x)，以及2x = a(1)，解出a(1) = 2/3.
于是通项 a(n) = 2n/3，前n项和就是 n(n+1)/3了。